10° MATEMÁTICAS

LUGAR GEOMÉTRICO DE LA ECUACIÓN

El lugar geométrico de una ecuación es la representación gráfica de dicha ecuación.

PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL LUGAR GEOMÉTRICO DE UNA ECUACIÓN

1. Hallar los parámetro de graficación, es decir, las intersecciones con los ejes, las simetrías con los ejes y el origen de coordenadas, y las restricciones de dominio y rango.

2. Elaborar un tabla de valores: Se despeja la variable \(y\) y se dan valores a x para determinar qué valores en determinado x pertenecen a \(y\), es decir, encontrar las diferentes parejas (x,y) de la gráfica.

Ejemplo práctico 1:

Representar el lugar geométrico de 9x² + 4y² = 36

Solución.

1. Determinamos las intersecciones con los ejes:

Intersección con eje \(x\)

9x² + 4y² = 36

9x² + 4(0)² = 36

\(x^2=\frac{36}{9}\)

\(x^2=4\Leftrightarrow x=2\)

Intersección con eje \(y\)

9x² + 4y² = 36

9(0)² + 4y² = 36

\(y^2=\frac{36}{4}\)

\(y^2=9\Leftrightarrow y=3\)

Por tanto, la gráfica del lugar geométrico corta al eje \(x\) en el punto (2,0) y  al eje \(y\)Y en el punto (0,3).

2. Determinamos las simetrias:

Simetría respecto del eje x:

9x² + 4y² = 36           ECUACIÓN ORIGINAL

9x^2 + 4(-y)^2 = 36

9x² + 4y² = 36           ECUACIÓN RESULTANTE

ECUACIÓN ORIGINAL = ECUACIÓN RESULTANTE

Hay simetría respecto al eje x esto nos permite afirmar que los puntos de corte con el eje x son, como se calculó inicialmente, (2,0) y la simetría nos indica que el otro punto es (-2,0).

Simetría respecto del eje y:

9x² + 4y² = 36           ECUACIÓN ORIGINAL

9(-x)^2 + 4y^2 = 36

\(9x^2 + 4y^2 = 36\) ECUACIÓN RESULTANTE

ECUACIÓN ORIGINAL = ECUACIÓN RESULTANTE

Hay simetría respecto al eje y esto nos permite afirmar que los puntos de corte con el eje y son, como se calculó inicialmente, (0,3) y la simetría nos indica que el otro punto es (0,-3).

Simetría respecto del origen:

9x² + 4y² = 36            ECUACIÓN ORIGINAL

9(-x)^2 + 4(-y)^2 = 36

\(9x^2 + 4y^2 = 36\)   ECUACIÓN RESULTANTE

ECUACIÓN ORIGINAL = ECUACIÓN RESULTANTE

Hay simetría respecto al origen, es decir, que hay equidistancia (igual distancia) entre los diferentes puntos del plano y el origen.

3. Determinamos las restricciones del dominio y del rango:

Dominio:

9x² + 4y² = 36

4y² = 36 - 9x²

\(y^2=\frac{36 - 9x^2}{4}\)

Podemos factorizar el numerador ya que 9 es múltiplo de 36 y tenemos:

\(y^2=\frac{9}{4}(4-x^2)\)

\(y=\sqrt{\frac{9}{4}(4-x^2)}\)

Ahora podemos sacar raíz cuadrada al 9 del numerador y el 4 del denominador:

\(y=\pm\frac{3}{2}\sqrt{4-x^2}\)

Como la variable se encuentra dentro de una raíz cuadrada la operación dentro del radical no puede dar un número negativo.

\(4-x^2\geq 0\)

\(-x^2\geq 0-4\)

\(-x^2\geq -4\)   *  (1)

\(x^2\leq 4\)

\(x\leq\sqrt{4}\)

\(x\leq\pm 2\) es decir que x puede tomar todos los valores entre -2 y 2 y escribimos \(-2\leq x\leq 2\)

 

Rango

9x² + 4y² = 36

9x² = 36 – 4y²

x² = \(\frac{36-4y^2}{9}\)

Factorizamos el numerador:

x² = \(\frac{4}{9}(9-y^2)\)

x = \(\sqrt{\frac{4}{9}(9-y^2)}\)

Sacamos raíz cuadrada a numerador y denominador y queda:

x = \(\pm\frac{2}{3}\sqrt{9-y^2}\)

Como la variable está dentro de una raíz cuadrada debemos asegurarnos que las operaciones dentro del radical sean valores mayores o iguales a 0 para que la función esté definida en los R.

\(9-y^2\geq 0\)

\(-y^2\geq 0-9\)

\(-y^2\geq -9\)   *   (-1)

\(y^2\leq 9\)

\(y=\sqrt 9\)

\(y=\pm 3\)

Entonces decimos que el rango son todos los valores entre -3 y 3 y escribimos \(-3\leq y\leq 3\)

Por tanto,

Dominio = {\(x\in{R}\)/ -2 ≤ x ≤ 2}

Rango = {\(y\in{R}\)/ -3 ≤ y ≤ 3}

4. Finalmente elaboramos la tabla de valores que nos facilitará aún más la representación gráfica de la ecuación 9x² + 4y² = 36 despejando \(y\) (recordemos que ya habíamos despejado y cuando desarrollamos la restricción de dominio):

\(y=\pm\frac{3}{2}\sqrt{4-x^2}\)