ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN
Para un cuerpo rígido formado por una colección de partículas que gira alrededor de un eje fijo con velocidad angular ω, cada partícula del cuerpo rígido tiene energía cinética de traslación. Si la partícula de masa \(m_i\), se mueve con velocidad \(v_i\), su energía cinética de traslación es:
\(E_{ci}=\frac{1}{2}m_iv_i^2\)
Cada partícula del cuerpo rígido tiene la misma velocidad angular ω, pero distintas velocidades lineales, porque estas dependen de la distancia r al eje de rotación, y se relacionan por \(v_i=\omega r_i\). Entonces la energía cinética de la partícula i es:
\(E_{ci}=\frac{1}{2}m_i(\omega r_i)^2\)
\(E_{ci}=\frac{1}{2}m_i\omega^2r_i^2\)
La energía cinética total del cuerpo rígido en rotación es la suma de las energías cinéticas de cada partícula individual, esto es:
\(E_{ci}=\sum \frac{1}{2}m_i\omega^2r_i^2\)
Como el momento de inercia I del cuerpo rígido es:
\(I=\sum m_ir_i^2\)
Con esta definición, se puede escribir la energía cinética de rotación de un cuerpo rígido como:
\(E_c=\sum \frac{1}{2}I\omega^2\)
Ejemplo:
Se aplica una fuerza tangencial de 10 N a un disco en reposo de masa 1 kg y de radio 2 m, durante 5 segundos.
Recuerda que las ecuaciones cinemáticas pueden ser utilizadas en estos ejercicios teniendo en cuenta que el desplazamiento en un movimiento lineal se denominaba \(x\) pero en un movimiento circular se denomina \(\theta\), la aceleración \(a\) se denomina \(\alpha\) y la velocidad \(v\) se denomina \(w\).
\(\theta=\theta_i+w_it+\frac{1}{2}\alpha t^2\)
\(w_f=w_i+\alpha t\)
\(w^2_f=w^2_i+2\alpha \theta\)
En la lección 2 MOMENTO DE INERCIA podemos observar que para un disco sólido de masa \(m\) el momento de inercia está dado por: \(I_c=\frac{1}{2}mr^2\)
Solución:
a) ¿Cuál es la aceleración angular, el desplazamiento angular y la velocidad angular final?
De la relación \(\tau=I\alpha\)
Se deduce \(\alpha=\frac{\tau}{I}\)
\(I=\frac{1}{2}mr^2=\frac{1}{2}1Kg*(2m)^2=2Kg*m^2\)
\(\tau=f*d=10N*2m=20J\)
\(\alpha=\frac{\tau}{I}=\frac{20J}{2Kg*m^2}\)
\(\frac{J}{Kgm^2}=\frac{Nm}{Kgm^2}=\frac{\frac{Kg*m}{s^2}m}{Kgm^2}=\frac{1}{s^2}=\frac{rad}{s^2}\)
\(\alpha=10 rad/seg^2\)
El desplazamiento es:
\(\theta=\frac{1}{2}\alpha t^2=\frac{1}{2}10*5^2=125\, rad\)
La velocidad angular final es:
\(\omega^2=2\alpha\theta=2*10*125=2500\)
\(\omega=\sqrt{2500}\, rad/seg\)
b) ¿Cuál fue el trabajo de la fuerza?
\(W=\tau\theta=10*2*125=2500\, julios\)
c) ¿Cuál es la energía cinética final?
\(E_c=\frac{1}{2}I\omega^2=\frac{1}{2}*\frac{1*2^2}{2}*\sqrt{2500}^2=2500\, jul\)
El trabajo de la fuerza se convirtió en energía cinética.
PREGUNTA: En Europa se utilizan en algunos casos camiones de entrega que operan haciendo uso de la energía almacenada en un volante giratorio. Los camiones son cargados haciendo uso de un motor eléctrico para llevar el volante a su velocidad máxima de 624 rad/s. Este volante es un cilindro sólido, con una masa de 512 kg y un radio de 97,6 cm. ¿Cuál es la energía cinética después de la carga?