Comenzaremos por definir qué es inercia de rotación para poder ingresar al tema Momento de inercia:
Inercia a la Rotación
Cualquier cuerpo que efectúa un giro alrededor de un eje, desarrolla inercia a la rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotación está determinada por su momento de Inercia.
Momento de Inercia
El momento de inercia realiza en la rotación un papel similar al de la masa en el movimiento lineal. Por ejemplo, si con una honda se lanza una piedra pequeña y una grande, aplicando la misma fuerza a cada una, la piedra pequeña se acelerará mucho más que la grande.
La inercia puede interpretarse como una nueva definición de masa. El momento de inercia es, pues, masa rotacional y depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanta mayor distancia hay entre la masa y el centro de rotación, mayor es el momento de inercia.
Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
Para masas Puntuales: Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:
\(I=mr^2\)
Donde:
\(m\) es la masa.
\(r\) la distancia de la masa al eje.
Para sistemas de partículas y un eje arbitrario: Se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:
\(I=\) \(\sum{m_i r_i^2}\)
donde, \(m_i\) es la masa de la partícula y \(r_i\) la distancia de la partícula al eje.
Momento de Inercia de algunos sólidos: A continuación se presenta una tabla informativa para calcular el momento de inercia de algunos sólidos.
Ejemplo 1:
Calcular el momento de inercia del conjunto de las cuatro masas representadas en la siguiente figura:
Con respecto al eje x: r es la distancia de la partícula al eje x\(I_x=(1*2^2)+(2*2^2)+(3*2^2)+(4*2^2)=40\, kg*m^2\)
Con respecto al eje y: r es la distancia de la partícula al eje y\(I_y=(1*1^2)+(2*1^2)+(4*1^2)+(3*1^2)=10\, kg*m^2\)
Con respecto al eje z: r es la distancia de la partícula al eje z\(I_z=1*(2^2+1^2)+2(2^2+1^2)+3(2^2+1^2)+4(2^2+1^2)=50\, kg*m^2\)
Ejemplo 2:
Momento de inercia de un anillo (De masa M y de radio \(r\) con respecto a su eje de simetría.)
La masa está repartida sobre un anillo de espesor pequeño.
Todas las partículas del anillo de masa \(m_i\) están a una distancia \(r\) del eje \(y\) por tanto en la suma se puede poner en factor el término \(r\) por ser constante teniéndose entonces:
\(I=\) \(\tiny\sum\) \(r^2 m_i=r^2\) \(\tiny\sum\) \(m_i\).
Y como \(\tiny\sum\) \(m_i=M_i\) es la masa total del anillo, se deduce
\(\bf\Large I=Mr^2\).
Estos métodos de cálculo del momento de inercia son muy limitados y no dan resultados sino para ciertas distribuciones de masas.
Para casos más generales, se utiliza el cálculo integral.
PREGUNTA: ¿Qué es momento de inercia?