NÚMEROS ENTEROS
Por medio de los números naturales no es posible representar otras cantidades que se deben aplicar diariamente al hacer compras, entregar cambio en una transacción, etc.
A partir del año 1500 se empezó a utilizar los símbolos (+) y (-) para representar cantidades negativas y positivas.
Los números enteros se representan con la letra Z.
Este conjunto está conformado por los enteros positivos \(Z^+\), los enteros negativos \(Z^-\) y el número 0.
REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
1. En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero.
2. A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1, 2, 3,...
3. A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos: − 1, −2, −3,...
VALOR ABSOLUTO DE NÚMEROS ENTEROS
Es la distancia que hay desde el origen de la recta numérica (0) hasta el número, sea un entero positivo o negativo.
Como hablamos de distancia esto significa que el valor absoluto siempre será positivo, es decir, no existen valores absolutos negativos.
Para denotar el valor absoluto de un número, colocamos el número entre dos barras verticales.
Veamos dos ejemplos:
El valor absoluto 5 lo escribimos I5I=5
El valor absoluto de -5 lo escribimos I-5I=5 por que dijimos que el valor absoluto siempre es positivo
Ahora veamos en la recta numérica:
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
Suma de números enteros: Inicialmente es necesario recurrir a la recta numérica para efectuar operaciones con este conjunto de números.
Si el primer sumando es positivo se representa con una flecha dirigida a la derecha de la recta numérica, si es negativo se representa con una flecha que apunte hacia la izquierda de la recta numérica.
El segundo sumando inicia en la punta de la flecha del primer sumando teniendo en cuenta también el signo se dirigirá a derecha o izquierda.
El resultado se representa con una flecha que inicia en 0 hasta la punta del segundo sumando.
El signo del resultado depende de si la flecha del resultado está orientada a la derecha (positivo) o a la izquierda (negativo).
Suma de dos números enteros positivos:
Tomemos 3+2=5 y veamos su representación en la recta numérica:
Suma de dos números enteros negativos:
Para sumar dos números negativos se suman sus valores absolutos y ell resultado SIEMPRE SERA NEGATIVO.
Tomemos -2-1=-3 y veamos su representación en la recta numérica:
Suma de dos números de distinto signo:
Para sumar un número positivo con uno negativo se deben restar sus valores absolutos y el signo del resultado lo determina el signo del número mayor, es decir, si el número mayor es negativo el resultado será negativo, pero si es positivo el resultado será positivo.
Realicemos la siguiente operación: 4+(-10)
I4I=4
I-10I=10
Realizamos la resta
10-4=6
Entre 4 y 10 el número mayor es 10 y el signo de 10 es negativo (-10), el resultado entonces será negativo:
4+(-10)=-6
Si graficamos en la recta numérica podemos observar el mismo resultado:
Resta de números enteros: Para restar dos números enteros debemos seguir los siguientes pasos:
1. Identificar el minuendo y el sustraendo
2. Hallar el opuesto del sustraendo
3. Sumar al minuendo el opuesto del sustraendo
Veamos un ejemplo:
(-5)-(4)=?
-5 es el minuendo y 4 es el sustraendo
El opuesto de 4 es -4
(-5)+(-4)=-9
Otro ejemplo:
(130)-(-300)=?
130 es el minuendo y -300 es el sustraendo
El opuesto de -300 es 300
(130)+(300)=430
Multiplicación de números enteros:Para la multiplicación de dos enteros se debe tener en cuenta la ley de los signos:
+
*
=
-
Como observas:
Multiplicación de números enteros números de signo igual su resultado es positivo.
Multiplicación de números enteros números de signo diferente su resultado es negativo.
Ejemplo:
\(3*(-4)=-12\)
\((41)*(3)=123\)
\((-7)*(-6)=42\)
\(15*(-2)=-30\)
División de números enteros:La división no es una operación cerrada en los números enteros, ya que el resultado de una división no siempre nos da como resultado un número entero. Veamos:
\(\frac{15}{3}=5\) en este caso el resultado es número que pertenece a los enteros.
\(\frac{30}{7}=4.28\) en este caso el resultado no pertenece al conjunto de números enteros
Para determinar el signo del resultado de una división de enteros (Debe ser exacta para que el resultado sea un entero), debemos recurrir nuevamente a la ley de signos:
/
Ejemplos:
\(\frac{-35}{7}=-5\)
\(\frac{-40}{-4}=10\)
\(\frac{26}{-13}=-2\)
\(\frac{20}{4}=5\)
PREGUNTA: Cuál es el resultado de la siguiente operación con números enteros?:
\([\frac{(-5*4)-(-2+4)}{15+(-6)-(-2)}]+[\frac{7*(-4)}{10-(3)}+\frac{2+(-10)}{-4}]-[\frac{5+(-3)-(-2*3)}{[4*(-3)]+4}]=\)