FUNCIÓN CUADRÁTICA Y OTRAS FUNCIONES
Hemos visto que las funciones cuando expresan la dependencia entre dos variables, son representadas por gráficas, ecuaciones o tablas. Además, a las funciones cuya gráfica es una línea recta les corresponde la ecuación \(y=mx+b\) o \(y=mx\) (función de primer grado).
Ahora observemos la tabla y la gráfica siguientes:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
9
16
Calculemos la razón de cambio entre los puntos:
Del primer cuadrante: (0,0) y (1,1); (1,1) (2,4); (2,4) y (3,9)
\(m_1=\frac{1-0}{1-0}=1\,\,\, m_2=\frac{4-1}{2-1}=\frac{3}{1}=3\,\,\, m_3=\frac{9-4}{3-2}=\frac{5}{1}=5\)
Del segundo cuadrante: (-3,9) y (-2,4); (-2,4) y (-1,1); (-1,1) y (0,0).
\(m_4=\frac{4-9}{-2-(-3)}=\frac{-5}{1}=-5\,\,\, m_5=\frac{1-4}{-1-(-2)}=\frac{-3}{1}=-3\,\,\, m_6=\frac{0-1}{0-(-1)}=\frac{-1}{1}=-1\)
Para cada par de puntos la razón es diferente, entonces como la razón de cambio varía para cada par de puntos, la gráfica no es una línea recta.
Además, la razón de cambio es positiva para los puntos situados en el primer cuadrante. Por tanto, la curva es creciente en el primer cuadrante.
En la gráfica nos damos cuenta que la imagen de 0 es \(0(f(0)=0)\), la imagen de 1 es \(1(f(1)=1)\).
En términos generales, la imagen de dos números opuestos es siempre la misma.
\(f(-1)=1\,\, y\,\, f(1)=1;\,\,\,\,\, f(-2)=4\,\, y\,\, f(2)=4\)
De la gráfica y del cálculo de sus valores se concluye que la curva es simétrica respecto al eje de ordenadas. El eje de simetría es el eje Y.
La ecuación de esta función es \(\bf y=x^2\). El que la imagen de dos números opuestos sea la misma, es porque al elevaral cuadrado un determinado valor de \(x\), el resultado es el mismo que el de su opuesto al cuadrado: \(x^2=(-x)^2\), porque cualquier número, distinto de cero, elevado a una potencia par es positivo.
Los valores de la variable dependiente en la función \(y=x^2\) son positivos o cero. La función \(y=x^2\) hace parte de una familia de funciones llamadas cuadráticas.
Una función definida por la ecuación cuadrática \(y=ax^2\), con \(a\neq 0\), se llama función cuadrática que pasa por (0,0); su gráfica es una curva llamada parábola.
Como en el caso de la función lineal, la cual se llamó función de primer grado, la función cuadrática es una función de segundo grado.
PREGUNTA: Si en una ecuación cuadrática de la forma \(f(x)=2x^{2}\), su gráfica pasa por el punto (0,0) cuando \(x\) toma el valor cero, por dónde pasaría el de la ecuación \(f(x) =2x^{2}+1\), cuando \(x\) toma el mismo valor de cero: