VARIACIÓN- DEPENDENCIA Y FUNCIÓN
Al cambio continuo que experimenta las magnitudes, se le denomina variación.
Para estudiar la variación los matemáticos generaron el concepto de variable.
En consecuencia, el tiempo y la altura son variables. En las relaciones, el proceso de variación involucra a por lo menos dos variables. Por tanto, preguntas que podemos plantearnos al analizar un fenómeno son:
Ejemplo:
A un tanque rectangular de 40 litros de capacidad entra agua con una razón constante de 0.8 litros por segundo.
Magnitudes que varían: volumen de agua (en litros) vertida respecto al tiempo (en segundos).
¿Qué relación guarda el volumen de agua vertida respecto al tiempo que trascurre mientras se llena el tanque?
Una primera aproximación a la respuesta es: en la medida en que aumenta el tiempo, el volumen de agua vertida en el tanque aumenta.
Para determinar con más precisión la relación entre el volumen de agua vertida (V) respecto al tiempo que trascurre (t), es necesario identificar las condiciones de variación por las que el valor de la variable V aumenta, cuando la variable t aumenta.
De las condiciones de la situación se establece que cada segundo entran 0.8 litros de agua. Esta condición se refleja en la siguiente tabla:
t (segundos)
1
2
3
4
...
V (litros)
0.8
1.6
2.4
3.2
Como las siguientes razones son iguales:
\(\frac{0.8}{1}=\frac{1.6}{2}=\frac{2.4}{3}=\cdots\), porque el agua entra al tanque a razón constante, entonces la variación es directamente proporcional.
Nótese que cualquier valor de V se obtiene multiplicando el valor de t correspondiente por la constante 0.8, por tanto, la relación de variación entre V y t podemos expresarla mediante la fórmula: \(\bf V=0,8t\)
Es decir: cualquier valor de la varible V depende del valor t.
Cuando los valores de una variable dependen de los valores de otra variable, se dice que hay una relación de dependencia entre estas variables.
En nuestro caso, como V depende de t, suele decirse que V (volumen) es función de t (tiempo), o también que:
V es la variable dependiente y t es la variable independiente en el modelo V = 0.8 t.
La función
Sean \(X\) y \(Y\) dos conjuntos cualesquiera. Si existe una correspondencia (o regla) que asocia cada elemento de \(X\) un único elemento de \(Y\), diremos que \(Y\) es función de \(X\) y que escribiremos \(\bf y=f(x)\) o también \(\bf x\to f(x)\)
\(x\): Variable independiente
\(y\): variable dependiente
\(f(x)\): imagen de \(x\)
Si \(x\) y \(y\) son conjuntos númericos, por ejemplo \(\mathbb{N},\,\mathbb{Z},\,\mathbb{Q}\, o\,\mathbb{R}\), diremos que la función es númerica.
Si \(x\subset\mathbb{R}\), diremos que la función es de variable real.
Si \(y=\mathbb{R}\), diremos que la función es de valor real.
PREGUNTA: Recordando que \(f(x)\) en una función, es la imagen de los valores que puede tomar la variable \(x\), por lo tanto, la expresión \(f(x)\) representa: