ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA
\(Ax^2+By^2+Cx+Dy+F=0\)
para A,B,C,D,E en \(\mathbb{R}\), con A y B de diferente signo.
Consideramos el desarrrollo de la ecuación de una hipérbola trasladada al centro \((h,k)\) con el eje mayor sobre una paralela al eje \(x\), así:
\(\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\)
\(b^2x^2-2b^2xh+b^2h^2- a^2y^2+ 2a^2yk-a^2k^2-a^2b^2=0\)
\(b^2x^2- a^2y^2-2b^2xh+ 2a^2yk +b^2h^2-a^2k^2-a^2b^2=0\)
Si denotamos por \(b^2=A,- a^2=B,-2b^2h=C,2a^2k=D, b^2h^2-a^2k^2- a^2b^2=F\), tendremos la ecuación:
haciendo énfasis en que \(A\) y \(B\) tienen diferente signo.
Ejemplo:
Determinar las coordenadas del centro y los focos de la hipérbola cuya ecuación general es \(4x^2-25y^2-16x-250y-709=0\).
Solución:
Organizamos la ecuación para completar cuadrados y darle la forma canónica:
\((4x^2-16x)-(25y^2+250y)=709\)
\(4(x^2-4x+4)-25(y^2+10y+25)=709+16-625\)
\(4(x-2)^2-25(y+5)^2=100\)
\(\frac{(x-2)^2}{25}-\frac{(y+5)^2}{4}=1\)
Por tanto, podemos identificar el centro C: ( 2 , -5), \(a = 5\) y \(b = 2\).
Se sabe que \(c^2=a^2+b^2\) y así \(c=\pm\sqrt{29}\)
En consecuencia, el eje mayor esta sobre la recta \(y=-5\), paralela al eje \(x\); así los focos son \((2\pm c,-5)\), los vértices son \((2\pm a,-5)\).
Luego: el centro es C: ( 2 , -5), los vértices son: \(V_1: ( 7,-5)\, y\, V_2 ( -3,-5)\) y los focos son \(F_1: ( 2+\sqrt{29},-5)\, y\, V_2 ( 2-\sqrt{29},-5)\)
Notese que \(y=\pm\frac{2}{5}x\) son dos rectas que "encierran" las ramas de la curva, es decir, las asíntotas. Además la excentricidad de la hipérbola es:
\(e=\frac{\sqrt{29}}{5}\approx 1.077\)
Excentricidad: (e) es la razón entre las distancias del origen a un foco y del origen a su correspondiente vértice. Se define \(e=\frac{c}{a}\)
PREGUNTA: Hallar la ecuación general de una hipérbola, cuyo centro de la hipérbola se encuentra en el punto C(0,0), de eje mayor \(8\) y distancia focal \(10\).