ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN (0,0)
La ecuación canónica de la hipérbola con eje focal sobre el eje x y eje conjugado sobre el eje y es de la forma
\(\Large\bf\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
Para obtener la expresión analítica de una hipérbola tomamos los ejes x y como ejes de la hipérbola.
Si los puntos F: (c,0) y F´: (-c,0) son los focos de la hipérbola, un punto P: (x,y) será punto de la hipérbola si \(\overline{PF}- \overline{PF'}=\pm 2a\), es decir si:
\(\sqrt{(x-c)^2+y^2} - \sqrt{(x+c)^2+y^2} =\pm 2a \).
Para simplificar esta ecuación, se empieza por expresarla en la forma
\(\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\pm 2a+\sqrt{(x-c)^2+y^2}\).
Elevamos al cuadrado y se obtiene:
\(x^2+2cx+c^2+y^2=4 a ^2 +x^2 -2cx+c^2+y^2 \pm 4 a \sqrt{(x-c)^2 + y^2}\)
Esto es
\(a^2 -cx =\pm a \sqrt{(x-c)^2 + y^2}\)
Si, nuevamente elevamos al cuadrado resulta:
\(a^4-2a^2cx+c^2x^2= a^2x^2 - 2a^2cx+ a^2c^2+a^2y^2\)
Es decir \(x^2(c^2-a^2)-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)\)
Teniendo en cuenta que \(c^2-a^2=b^2\), dividimos por \(a^2b^2\) y resulta
\(\Large\bf\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1\)
A continuación se explican dos posibilidades que toma la hipérbola, según sus ramas abarquen al eje x o al eje y, análogamente a lo expuesto para los lugares geométricos estudiados:
PREGUNTA: Hallar distancia de los vértices mayores de una hipérbola en C: (0,0) que es de la forma \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)