10° MATEMÁTICAS

SIMETRÍA DE UN LUGAR GEOMÉTRICO

SIMETRÍA: consiste en la ubicación de puntos equidistantes (igual distancia) respecto a un punto, una recta o un plano determinado.

Existen simetrías con el eje x, el eje y y el origen de coordenadas.

Simetría con eje y: para cada (-x,y) existe un (x,y)

Simetría con eje x: para cada (x,y) existe un (x,-y)

Simetría con el origen de coordenadas: para cada (-x,-y) existe un (x,y)

 

  PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LAS SIMETRÍAS DE UN LUGAR GEOMÉTRICO


Simetría respecto al eje x

1. Sustituimos la variable(s) \(y\) de la ecuación por \(-y\) (y = -y)

2. Si la ecuación original es igual a la ecuación resultante de la sustitución, decimos que hay simetría respecto al eje.

Ejemplo 1:

Sea un lugar geométrico definido por la ecuación \(2x^2+y=6\). Determinar la simetría con el eje x.

Remplazamos la variable \(y\) por \(-y\)

2\(x^2\) + y = 6       ECUACIÓN ORIGINAL

2\(x^2\) + (-y) = 6

2\(x^2\) -y = 6        ECUACIÓN RESULTANTE  

Como podemos observar  ECUACIÓN ORIGINAL \(\neq\) ECUACIÓN RESULTANTE  decimos que no hay simetría respecto al eje x

Simetría respecto al eje y

1. Sustituimos la variable(s) x de la ecuación por -x (x = -x)

2. Si la ecuación original es igual a la ecuación resultante de la sustitución, decimos que hay simetría respecto al eje.

Ejemplo 2:

Continuamos con el lugar geométrico definido por la ecuación \(2x^2+y=6\).

Remplazamos la variable x por -x

2x2 + y = 6       ECUACIÓN ORIGINAL

2(-x)2 + y = 6

2\(x^2\) + y  = 6        ECUACIÓN RESULTANTE  

Como podemos observar  ECUACIÓN ORIGINAL \(=\) ECUACIÓN RESULTANTE  decimos que hay simetría respecto al eje y.

 Simetría respecto al origen de coordenadas (0,0)

Para determinar la simetría con el origen de coordenadas debemos realizar una doble sustitución.

1. Sustituimos la variable(s) Y de la ecuación por -Y y la variable(s) x por -x (x = -x) y (y = -y)

2. Si la ecuación original es igual a la ecuación resultante de la sustitución, decimos que hay simetría respecto al eje.

Ejemplo 3:

Utilizando el mismo lugar geométrico definido por la ecuación \(2x^2+y=6\).

Remplazamos la variable Y por -Y y la variable x por -x

2x2 + y = 6          ECUACIÓN ORIGINAL

2(-x)2 + (-y) = 6

\(2x^2-y=6\)        ECUACIÓN RESULTANTE  

Como podemos observar  ECUACIÓN ORIGINAL \(\neq\) ECUACIÓN RESULTANTE  decimos que no hay simetría respecto al origen de coordenadas.

Ejemplo práctico 4:

Determinar las simetrías del lugar geométrico cuya ecuación es:

    \(2x^2+6y^2=12\)

Solución:

Simetría respecto del eje y.

1. Reemplazamos \(x\) por \(-x\)en la ecuación original y obtenemos:

    \(2(-x)^2+6y^2=12\); es decir,

    \(2x^2+6y^2=12\)  La ecuación original = ecuación resultante

    El lugar geométrico de la ecuación   \(2x^2+6y^2=12\)   es simétrico respecto del eje y.

    Simetría respecto del eje X.

    Reemplazamos \(y\) por \(-y\)  en la ecuación original y obtenemos:

    \(2x^2+6(-y)^2=12\); es decir,

    \(2x^2+6y^2=12\). La ecuación original = ecuación resultante

    El lugar geométrico de la ecuación   \(2x^2+6y^2=12\)   es simétrico respecto del eje \(x\).

    Simetría respecto del origen de coordenadas

    1. Realizamos la doble sustirución y obtenemos:

    \(2(-x)^2+6(-y)^2=12\); es decir,

    \(2x^2+6y^2=12\). La ecuación original = ecuación resultante

El lugar geométrico de la ecuación   \(2x^2+6y^2=12\)   es simétrico respecto del origen.

Observemos el siguiente vídeo, los que se puede visualizar claramente el comportamiento de una gráfica con simetría en el eje "x", al eje "y" y con respecto al "origen":

PREGUNTA: ¿El lugar geométrico con ecuación \(x^2+3y^2=6\) es simétrico respecto del origen?