DINÁMICA DE ROTACIÓN Y TRASLACIÓN COMBINADAS
Hasta ahora hemos visto la dinámica de rotación cuando el eje de rotación estaba fijo. A menudo los objetos se trasladan al mismo tiempo que giran.
Se pueden considerar separadadamente los dos movimientos, o sea:
Si un cuerpo rígido gira y se traslada, debemos realizar el diagrama de cuerpo libre, es decir, el dibujo en donde se indique como y en qué dirección actúan las fuerzas en el cuerpo. Luego se debe aplicar las leyes de Newton en el caso de la traslación del centro de masas y la rotación respecto al centro de masas.
Para la traslación:
\(F=ma_{cm}\)
\(F\) es fuerza.
\(m\) es masa.
\(a_{cm}\) es aceleración en el centro de masas.
Para la rotación:
\(\tau=I_{cm}\alpha\)
Donde:
\(\tau\) es el torque
\(I\) es el momento de inercia
\(\alpha\) es la aceleración angular.
Veamos el ejemplo de una moneda que rota y se desplaza sobre un plano inclinado:
Se puede apreciar que ésta tiene un centro de masa \((CM)\) que acelera, pero que también posee una aceleración angular producto de la rotación de la moneda respecto al centro de masa \((CM)\).
Ahora observemos el movimiento de una bola de bolos que rueda sin resbalar por la rampa de retorno junto a la mesa. La rampa forma un ángulo \(b\) con la horizontal. ¿qué aceleración tiene la bola?
Primero realizamos el diagrama de cuerpo libre:
Si observamos la tabla de la lección 2 de momentos de inercia de algunos sólidos, podemos tomar la bola como sólida y tenemos que \(I=\frac{2}{5}mr^2\).
Ahora, del diagrama de cuerpo libre (figura de la derecha) observamos que la fuerza \(F\) que actúa sobre la bola es su propio peso \((mg)\) como tenemos que la fuerza es un vector debemos escribir la componente \(x\) de esa fuerza \(mgSen\beta\) positiva por que actúa hacia el lado derecho del eje \(x\).
La fuerza de fricción \(f\) actúa hacia el lado negativo de \(x\).
Por la ecuación de fuerza del movimiento de traslación tenemos que \(F=ma_{cm}\)
\(mgSen\beta-f=ma\) ECUACIÓN (1)
Por movimiento de rotación tenemos:
\(\tau=I\alpha\)
\(\tau=F*d\) en este caso la distancia es el radio \(r\).
\(F*r=I_{cm}\alpha\)
\(F*r=\frac{2}{5}mr^2\alpha\)
Despejando \(F\) tenemos:
\(F=\frac{2}{5r}mr^2\alpha\)
\(F=\frac{2}{5}mr\alpha\)
Recordemos que la aceleración tangencial está dada por \(a=\alpha r\)
\(F=\frac{2}{5}ma\) ECUACIÓN (2)
Remplazando el valor de \(f\) de la ecuación (2) en la ecuación (1) tenemos:
\(mgSen\beta-\frac{2}{5}ma=ma\)
Despejamos a:
\(mgSen\beta=\frac{7}{5}ma\)
\(\frac{mgSen\beta}{\frac{7}{5}m}=a\)
\(a=\frac{5}{7}gSen\beta\)
PREGUNTA: Una cubeta de agua de masa \(m = 22 Kg\) atada a una cuerda de masa despreciable, la cual está enrollada a una polea cilíndrica (\(I=\frac{1}{2}mr^2\)) de masa \(M = 36 Kg\) y radio \(R = 0.25 m\). La polea puede girar libremente respecto al eje horizontal mostrado en la figura. Si inicialmente la cubeta está en reposo y se suelta, de manera que la polea comienza a girar. Por dinámica, calcula la velocidad de la cubeta \(5 seg\) después de haberla dejado libre.