DERIVADAS DE ORDEN SUPERIORComo la derivada de una función es otra función, entonces podemos tratar de hallar la derivada de esta nueva función. Si hacemos tal cosa, el resultado es de nuevo una función que pudiera ser a su vez derivada. Si continuamos así una y otra vez, tenemos lo que se conoce por derivadas de orden superior, que consiste en derivar el resultado de una derivación anterior.
La notación que utilizaremos para denotar derivadas de orden superior es:Primera derivada f’(x)Segunda derivada f"(x)Tercera derivada es f’’’(x)Cuarta derivada f(4)(x) y así sucesivamente.Ejemplo: Hallar la tercera derivada de la función f(x)=6x3-5x2\(f'(x)=18x^2-10x\)f''(x)=36x-10f'''(x)=36Las derivadas de orden superior también son útiles en la física, cuando deseamos indagar acerca del movimiento de un objeto y obtener una medida de variación, que se logra comparando las distancias recorridas con los tiempos invertidos.Si podemos obtener la función del desplazamiento de una partícula en función del tiempo, podemos derivar el desplazamiento respecto al tiempo para obtener la velocidad, y derivar la velocidad respecto al tiempo para obtener la aceleración de dicha partícula.Ejemplo: El desplazamiento de una partícula está dado por la función \(f(t)=-16t^2+100\). Determinar su velocidad y aceleración en t=2seg.
Aplicando derivadas de orden superior obtenemos:Velocidad= v=f'(t)=-32tAceleración= a=f''(t)=-32Ahora ya podemos determinar éstas variables en un instante dado. Si t=2seg entonces:Su aceleración será \(-32\frac { m}{s^2}\) como es negativa decimos que es desaceleración, o sea que está deteniendo la partícula.Su velocidad en t=2seg es \(-32(2)=-64\frac{m}{s}\) como es negativa significa que está disminuyendo la velocidad, nuevamente vemos que está frenando.Y su desplazamiento está dado por \( f(2) =-16(2)^2+100=64+100=164m\).
PREGUNTA: ¿Cuál es la velocidad de un automóvil que viaja de una ciudad A a una ciudad B, cuya ecuación de su desplazamiento está dada por \(S=3t^3+2t^2+5\) en el instante t=1seg?