ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Cualquier número tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia del punto al origen (0), sobre la recta.
El valor absoluto de un numero real \(a\), que se denota |a|, se define como el mismo numero a si \(a \geq 0\) y el opuesto de \(a\) si a<0. Es decir:\(|a|= \{ {a,\ si\ a \geq 0 \atop -a,\ si\ a<0}\)
Esto significa que el valor absoluto de cualquier valor numérico SIEMPRE es positivo.
Ejemplo:
\(|2|=2;\, |-2|=-(-2)=2\)
Propiedades del valor absoluto:
1. \(|a|\geq 0\)
\(|5|=5\geq 0\)
\(|-5|=5\geq 0\)
2. \(|a|=0 \)si y sólo si \(a=0\) Ejemplo: \(|0|=0\) 3. \(|ab|=|a||b|\) Ejemplo: \(|4*5|=|4|*|5|=4*5=20\) 4. \(|a|^2=a^2\) Ejemplo: \(|3|^2=3^2=9\) \(|-3|^2=3^2=9\) 5. |a|=|-a| Ejemplo: |9|=|-9|=9 6. \(|a+b|\leq |a|+|b|\) Ejemplo: \(|3+2|\leq |3|+|2|=3+2=5\) \(|3+(-2)|=1\leq |3|+|-2|=3+2=5\) 7. \(|x-a|\leq b\) y \(b\geq 0\) si y sólo si \(a-b\leq x\leq a+b\) Ejemplo: \(|x-5|\leq 2\) \(5-2\leq x\leq 5+2\) \(3\leq x\leq 7\) R=[3,7] 8. \(|x-a|\geq b\) si y sólo si \(x\leq a-b\) Y \(x\geq a+b\) Ejemplo: \(|x-3|\geq 1\) \(x\leq 3-1\) Y \(x\geq 3+1\) \(x\leq 2\) Y \(x\geq 4\)\(R=(-\infty,2]U[4,\infty)\)
2. \(|a|=0 \)si y sólo si \(a=0\)
\(|0|=0\)
3. \(|ab|=|a||b|\)
\(|4*5|=|4|*|5|=4*5=20\)
4. \(|a|^2=a^2\)
\(|3|^2=3^2=9\)
\(|-3|^2=3^2=9\)
5. |a|=|-a|
|9|=|-9|=9
6. \(|a+b|\leq |a|+|b|\)
\(|3+2|\leq |3|+|2|=3+2=5\)
\(|3+(-2)|=1\leq |3|+|-2|=3+2=5\)
7. \(|x-a|\leq b\) y \(b\geq 0\) si y sólo si \(a-b\leq x\leq a+b\)
\(|x-5|\leq 2\)
\(5-2\leq x\leq 5+2\)
\(3\leq x\leq 7\)
R=[3,7]
8. \(|x-a|\geq b\) si y sólo si \(x\leq a-b\) Y \(x\geq a+b\)
\(|x-3|\geq 1\)
\(x\leq 3-1\) Y \(x\geq 3+1\)
\(x\leq 2\) Y \(x\geq 4\)\(R=(-\infty,2]U[4,\infty)\)
Veamos otros ejemplos:
1. Calculemos: \(\left|\frac{-xy}{4zm}\right|\) si x > 0; y < 0; z < 0; m > 0
Solución:
\(\left|\frac{-xy}{4zm}\right|=\frac{|-xy|}{|4zm|}=\frac{|-x||y|}{|4||z||m|}=\frac{(x)(-y)}{4(-z)(m)}=\frac{xy}{4zm}\).
2. Resolvamos: \(|4x-3|\leq 1\)
Solución: Por la propiedad número 7, tenemos:
\(|4x-3|\leq 1\Leftrightarrow -1\leq 4x-3\leq 1\) \(\Rightarrow 2\leq 4x\leq 4\) (Sumando 3 a cada término) \(\Rightarrow\frac{1}{2}\leq x\leq 1\) (Dividiendo por 4) \(R=[\frac{1}{2},\, 1]\) Es la solución.
\(|4x-3|\leq 1\Leftrightarrow -1\leq 4x-3\leq 1\)
\(\Rightarrow 2\leq 4x\leq 4\) (Sumando 3 a cada término)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\leq x\leq 1\) (Dividiendo por 4)
\(R=[\frac{1}{2},\, 1]\) Es la solución.
3. Resolver: \(\left|\frac{2}{5}-\frac{8x}{3}\right|\geq 4\)
\(\left|\frac{2}{5}-\frac{8x}{3}\right|\geq 4\Rightarrow\frac{2}{5} -\frac{8x}{3}\geq 4 \ \ \tiny\vee\Large \ \ \frac{2}{5} -\frac{8x}{3}\leq -4\Rightarrow\) \(-\frac{8x}{3}\geq\frac{18}{5}\,\tiny\vee\Large {-\frac{8x}{3}\leq -\frac{22}{5}\Rightarrow\) \(\frac{8x}{3}\leq -\frac{18}{5}\,\tiny\vee\Large\,\frac{8x}{3}\geq\frac{22}{5}}\Rightarrow\) \(x\leq -\frac{27}{20}\,\tiny\vee\Large\, x\geq\frac{33}{20}\) \(R=(-\infty ,\, -\frac{27}{20}]\,\tiny\cup\,\Large [\frac{33}{20},\,\infty)\) es la solución. En el siguiente vídeo se muestran varios ejercicios resueltos que le ayudarán a profundizar el tema:
\(\left|\frac{2}{5}-\frac{8x}{3}\right|\geq 4\Rightarrow\frac{2}{5} -\frac{8x}{3}\geq 4 \ \ \tiny\vee\Large \ \ \frac{2}{5} -\frac{8x}{3}\leq -4\Rightarrow\)
\(-\frac{8x}{3}\geq\frac{18}{5}\,\tiny\vee\Large {-\frac{8x}{3}\leq -\frac{22}{5}\Rightarrow\)
\(\frac{8x}{3}\leq -\frac{18}{5}\,\tiny\vee\Large\,\frac{8x}{3}\geq\frac{22}{5}}\Rightarrow\)
\(x\leq -\frac{27}{20}\,\tiny\vee\Large\, x\geq\frac{33}{20}\)
\(R=(-\infty ,\, -\frac{27}{20}]\,\tiny\cup\,\Large [\frac{33}{20},\,\infty)\) es la solución.
En el siguiente vídeo se muestran varios ejercicios resueltos que le ayudarán a profundizar el tema:
PREGUNTA: Cuál es el resultado de $x+4|<2