La diferencia entre la palabra permutación o combinación radica básicamente en el orden en que coloquemos los elementos que conforman un conjunto.
Si el orden en que se colocan los elementos de un conjunto no importa entonces diremos que es una combinación.
Por ejemplo, si deseamos preparar una ensalada de frutas que contiene manzanas, fresas y banano, no importa si primero coloco en la ensaladera:
fresas -manzanas - banano ó
banano - fresas - manzanas, ó
manzanas -banano - fresas
Si el orden de los elementos del conjunto sí importa entonces decimos que es una permutación.
Por ejemplo, si utilizamos la clave de una caja fuerte:
891
No es posible que se pueda abrir si utilizamos:
9 81 ó
1 89
Tipos de permutaciones
Permutaciones en donde se permite repetir elementos del conjunto:
En el ejemplo de la caja fuerte la clave podría ser 8 8 8
Si deseamos saber cuantas permutaciones con repetición se pueden obtener para colocar una clave a una caja fuerte entonces debemos tener en cuenta cuántos elementos se puede colocar en cada una de las posiciones:
En la primera posición podemos colocar cualquier número entre 0 y 9.
Como se permite repetir elementos en cada posición, entonces en la segunda posición también podemos colocar cualquier número entre 0 y 9.
Igual para la tercera posición podemos colocar cualquier número entre 0 y 9.
Esto significa que podemos colocar cualquiera de los 10 números en la primera posición, cualquiera de los 10 números en la segunda y cualquiera de los 10 números en la tercera, por tanto tenemos:
10 X 10 X 10 = 1000 formas diferentes de obtener una clave de 3 dígitos para una caja fuerte.
Permutaciones en donde NO se permite repetir elementos del conjunto:
Si continuamos con el ejemplo de la clave de tres dígitos de la caja fuerte y se desea obtener el número de formas diferentes de colocar una clave sin repetir dígitos entonces las opciones se reducen:
En la primera posición podemos colocar cualquiera de los 10 números de 0 a 9.
Para la segunda posición podemos colocar cualquier número diferente al que se colocó en la primera posición, es decir, cualquiera de los 9 números restantes.
Para la tercera posición no podemos colocar el mismo número que en la primera posición ni el mismo número que se colocó en la segunda, por tanto me queda colocar uno de los 8 números restantes.
10 X 9 X 8 = 720 formas diferentes de colocar una clave de tres dígitos en una caja fuerte sin repetir dígitos.
Determinación de formas de ordenar en una combinación
Ahora veamos como determinar las diferentes formas de combinar un conjunto de n elementos en grupos de r:
1. Determinamos de cuantas formas podemos ordenar todos los n elementos.
2. Determinamos de cuantas formas podemos ordenar el grupo r de elementos.
3. Determinamos de cuantas forma podemos ordenar los elementos restantes diferentes a los r escogidos (n-r).
4. Finalmente aplicamos la siguiente fórmula:
Veamos un ejemplo:
Se tienen 8 personas para formar un comité de cinco miembros. ¿Cuántas diferentes posibilidades existen para formar el comité? Esta es una combinación porque el orden de los miembros del comité no importa.
1. Determinamos de cuántas formas podemos ordenar todos los n elementos (el orden con la totalidad de los elementos).
En la posición 1 puede estar cualquiera de los 8 miembros del comité.
Como cualquier miembro del comité sòlo puede estar en una posiciòn a la vez, entonces en la segunda posiciòn puede ir cualquiera de los otro 7 miembros.
n la tercera posición sólo puede ir cualquiera de los 6 miembros restantes, y así sucesivamente.
8 X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 40320
2. Nos indican que el comité va a estar formado sólo por 5 miembros, determinamos de cuántas formas podemos ordenar el grupo 5 de elementos.
5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 120
3. Determinamos de cuántas forma podemos ordenar los elementos restantes diferentes a los r escogidos (n-r).
Como el comité se forma con 5 miembros de 8 que pueden estar en dicho comité tenemos que:
8 - 5 = 3 y calculamos como podrían ordenarse esos 3 miembros restantes:
3 X 2 X 1 = 6
4. Finalmente aplicamos la fórmula:
\(\frac{40320}{120*6}=\frac{40320}{720}=56\)
Pregunta: ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar 16 bolas de billar?
Recuerda que cada bola puede ocupar una única posición, por ejemplo, si en la primera posición aparece la bola 14, ésta bola ya no puede ocupar otra posición.