10° MATEMÁTICAS

DEFINICIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Consideremos una circunferencia de radio r y centro el punto (0,0). La ecuación de dicha circunferencia es:

\(\bf\LARGE x^2+y^2=r^2\).

Cualquier punto (x,y) de la circunferencia satisface la ecuación \(x^2+y^2=r^2\).

Llamaremos \(\theta\) al ángulo que determina la semirrecta \(\vec{OP}\) que corta a la circunferencia en el punto P: (x,y)

Si tenemos un ángulo \(\theta\) en posición normal , en un sistema de coordenadas cartesianas, y una semirrecta \(\vec{OP}\) que corta a la circunferencia de centro C: (0,0) en el punto P: (x,y). Definimos las funciones o razones trigonométricas con respecto al ángulo \(\theta \) así:

Las tres razones trigonométricas directas del ángulo \(\theta \) son:

Seno de \(\theta:\,\, sen\theta=\frac{ordenada}{radio}=\frac{\bar{PQ}}{r}= \frac{y}{r}\)

Coseno de \(\theta:\,\, cos\theta=\frac{abscisa}{radio}= \frac{\bar{OQ}}{r}= \frac{x}{r}\)

Tangente de \(\theta:\,\, tan\theta=\frac{ordenada}{abscisa}= \frac{\bar{PQ}}{\bar{OQ}}= \frac{y}{x}\)

\(tan\theta=\,\frac{sen\theta}{cos\theta}\)

Las tres razones trigonométricas inversas de las anteriores son:

Cosecante de \(\theta:\, csc(\theta)=\frac{radio}{ordenada}= \frac{r}{\bar{PQ} }= \frac{r}{y}\)

\(csc\theta=\,\frac{1}{sen\theta}\)

Secante de \(\theta \): \(sec(\theta)=\frac{radio}{abscisa}= \frac{r}{\bar{OQ}}= \frac{r}{x}\)

\(sec\theta=\,\frac{1}{cos\theta}\)

Cotangente de \(\theta \): \(ctg(\theta)=\frac{abscisa}{ordenada}= \frac{\bar{OQ}}{\bar{PQ}}= \frac{x}{y}\)

\(ctg\theta=\,\frac{1}{tan\theta}\)

Los valores de \(\theta\in\mathbb{R}\) se expresan en grados sexagesimales o en radianes principalmente.

PREGUNTA: Dado que \(x^2+y^2=r^2\), ¿se cumple que \(sen^2(\theta)+ cos^2(\theta)=1\) para cualquier ángulo?