CÁLCULO DE LÍMITES EXPONENCIALES
Recordemos unas reglas básicas cuando aparecen exponentes.
\(a^n=b\)
Donde:
a es la base
b es el exponente
c es la potencia
Si tenemos funciones como las siguientes:
\(\lim_{x \to a}[f(x)]^{g(x)}\)
\(\lim_{x \to \infty}[f(x)]^{g(x)}\)
Se pueden presentar los casos que veremos a continuación.
1. La base tiende a un número cualquiera diferente de cero y el exponente a otro número que pertenezca a los reales. En este caso el límite es el número que resulta de realizar la operación correspondiente.
Ejemplo:
\(\lim_{x \to 1}[x+1]^{2x-3}\)
\([1+1]^{2(1)-3}\)
\([2]^{-1}=\frac{1}{2}\)
2. La base tiende a un número positivo mayor que 1 y el exponente a +∞ . En este caso el límite es también + ∞ .
\(\lim_{x \to \infty}[\frac{2x+1}{1+x}]^{2x-3}\)
Como vemos numerador y denominador tienen grados iguales por tanto nos queda:
\(2^{\infty}=\infty\)
3. La base tiene a un número diferente de 0 comprendido entre -1 y 1 y el exponente a +∞ . En este caso el límite es 0.
\(\lim_{x \to \infty}[\frac{1+x}{2x+1}]^{2x-3}=[\frac{1}{2}]^{\infty}=0\)
4. La base tiende a un número negativo menor o igual que -1 y el exponente a +∞ . En este caso el límite no existe, pues los productos son alternativamente de signo contrario.
\(\lim_{x \to \infty}[\frac{-3x+1}{1+x}]^{2x-3}=[-3]^{\infty}= No existe\)
5. En el caso en que la base tiende a 1 y el exponente a +∞ tenemos una indeterminación que se resuelve aplicando la fórmula:
\(\lim_{x \to a}[f(x)]^{g(x)}=1^\infty=e^{\lim_{x \to a}g(x)*[f(x)-1]}\)
\(\lim_{x \to 0}[\frac{1+x}{2x+1}]^{\frac{2x+3}{x}}\)
Aplicando la fórmula debemos encontrar el exponente de \(e\):
\(\lim_{x \to 0}[\frac{2x+3}{x}]*{\frac{1+x}{2x+1}-1}\)
\(\lim_{x \to 0}[\frac{2x+3}{x}]*{\frac{1+x-2x-1}{2x+1}}\)
\(\lim_{x \to 0}[\frac{2x+3}{x}]*{\frac{-x}{2x+1}}\)
\(\lim_{x \to 0}\frac{-2x^2-3x}{2x^2+x}\)
\(\lim_{x \to 0}\frac{(x)(-2x-3)}{(x)(2x+1)}\)
\(\lim_{x \to 0}\frac{(-2x-3)}{(2x+1)}\)
\(\frac{(-2(0)-3)}{(2(0)+1)}\)
\(\frac{-3)}{1}=-3\)
Ahora si reemplazando en la fórmula tenemos que:
\(\lim_{x \to 0}[\frac{1+x}{2x+1}]^{\frac{2x+3}{x}}=e^{-3}\)
PREGUNTA: Para desarrollar \(\lim_{x \to a}[f(x)]^{g(x)}=1^\infty=e^{\lim_{x \to a}g(x)*[f(x)-1]}\) es necesario: