CÁLCULO DE LIMITES EN PUNTOS FINITOS
En esta lección nos enfocaremos en aprender a calcular límites cuando tienden a valores reales finitos.
Si queremos calcular el límite de una función f(x) cuando x se acerca a cierto valor a, simplemente se debe sustituir el valor de a en f(x):
Ejemplo:
\(\lim_{x \to -3}\frac{2x^2-3x+1}{x+2}\)
\(\frac{2(-3)^2-3(-3)+1}{(-3)+2}\)
\(\frac{18+9+1}{-1}=-28\)
El problema que podemos encontrar en este caso es que el denominador se haga 0 al sustituir x p or el valor que corresponda.
Es por eso que veremos los casos que podemos encontrar y la forma de solucionarlos.
Caso 1: Indeterminación \(\frac{k}{0}\) con \(k\neq 0\): Se presenta cuando en el numerador aparece un número cualquiera diferente de 0 y el denominador es 0.
En este caso el límite el siempre ∞ , pero para determinar su signo, se calculan los límites laterales.
Recordemos que para calcular límites laterales se deben tomar valores muy pequeños cercanos a límite que nos indiquen tanto por la derecha como por la izquierda y remplazarlos en la función.
\(\lim_{x \to 1}\frac{1-2x}{1-x^2}\)
\(\lim_{x \to 1}\frac{1-2(1)}{1-(1)^2}\)
\(\lim_{x \to 1}\frac{-1}{0}\)
Veamos la tendencia del límite por la derecha y por la izquierda:
Para realizar el cálculo del límite por la derecha tomemos el valor 1.0001 que es muy cercano al límite que nos indican: 1
\(\lim_{x \to 1^+}\frac{1-2(1.0001)}{1-(1.0001)^2}\)
El numerador tiende a -1 y el denominador a 0 por la izquierda, se puede interpretar como -0, aplicamos ley de signos:
\(\lim_{x \to 1^+}\frac{-1}{0^-}=\infty\)
Ahora para realizar el cálculo del límite por la izquierda tomemos el valor 0.9999 que es muy cercano al límite que nos indican: 1
\(\lim_{x \to 1^+}\frac{1-2(0.9999)}{1-(0.9999)^2}\)
El numerador tiende a -1 y el denominador a 0 por la derecha, se puede interpretar como +0, aplicamos ley de signos:
\(\lim_{x \to 1^+}\frac{-1}{0^+}=-\infty\)
Indeterminación \(\frac{0}{0}\): En este caso tanto numerador como denominador se hacen 0.
Si en el numerador y en el denominador tenemos polinomios, la forma de resolver la indeterminación es descomponer los polinomios en factores y simplificar para posteriormente volver a sustituir.
Veamos un ejemplo:
\(\lim_{x \to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-4}=\frac{2^2-5(2)+6}{(2)^2-4}=\frac{0}{0}\)
\(\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x-3)}{(x+2)(x-2)}\)
\(\lim_{x \to 2}\frac{(x-3)}{(x+2)}=\frac{2-3}{2+2}=-\frac{1}{4}\)
En caso de que también aparezcan raíces cuadradas, realizamos el proceso explicado en la lección anterior de multiplicación por la conjugada del radical.
PREGUNTA: Calcular \(\lim_{x \to -3}\frac{\sqrt{x+4}-1}{x^2+2x-3}\)