Si \(n\) es en elemento positivo y \(a\) es cualquier número real, definimos \(a^n\)como el producto de \(n\) factores de \(a\). \(\,\, a^n\) es la n-ésima potencia de \(a\). Simbólicamente:
Si \(a\)es un número real y \(n\)es un número entero, tenemos:
\(\Huge a^n=\underbrace{a*a*a*\cdots *a}_{n\,factores}\), donde \(n\)se llama exponente y \(a\)base.
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
De esta definición obtenemos las siguientes propiedades, llamadas leyes de los exponentes, que nos permitirán simplificar expresiones con exponentes.
Si \(a,\, b\in\mathbb{R}\, y\, m,\, n\in\mathbb{Z}\) tenemos:
1. \(\Huge a^n*a^m=a^{n+m}\) 2. \(\Huge (a^n)^m=a^{n*m}\) 3. \(\Huge (a*b)^m=a^m*b^m\) 4. \(\Huge \frac{a^m}{a^n}=\displaystyle \left\{ {a^{m-n}\,\textrm{ si m>n} \atop 1\;\,\,\,\,\,\,\,\textrm{ si m=n}\;\\ \frac{1}{a^{n-m}}\;\textrm{ si n>m}}\) 5. \(\Huge a^0=1,\,\,\, a\neq 0\) 6. \(\Huge (\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m},\,\,\, b\neq 0\) 7. \(\Huge a^{-n}=\frac{1}{a^n},\,\,\, a\neq 0\)
1. \(\Huge a^n*a^m=a^{n+m}\)
2. \(\Huge (a^n)^m=a^{n*m}\)
3. \(\Huge (a*b)^m=a^m*b^m\)
4. \(\Huge \frac{a^m}{a^n}=\displaystyle \left\{ {a^{m-n}\,\textrm{ si m>n} \atop 1\;\,\,\,\,\,\,\,\textrm{ si m=n}\;\\ \frac{1}{a^{n-m}}\;\textrm{ si n>m}}\)
5. \(\Huge a^0=1,\,\,\, a\neq 0\)
6. \(\Huge (\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m},\,\,\, b\neq 0\)
7. \(\Huge a^{-n}=\frac{1}{a^n},\,\,\, a\neq 0\)
Ejemplo:
simplifiquemos la expresión \(x^4*x^7\)
Aplicando la definición de potencia n-ésima de \(a\), podemos escribir:
\(\Huge x^4*x^7=\underbrace{x*x*x*x}_{4\,factores}*\underbrace{x*x*x*x*x*x*x}_{7\,factores}\) \(\Huge =\underbrace{x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*x}_{4+7\,factores}\) \(\Huge = x^{11}\)
\(\Huge x^4*x^7=\underbrace{x*x*x*x}_{4\,factores}*\underbrace{x*x*x*x*x*x*x}_{7\,factores}\)
\(\Huge =\underbrace{x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*x}_{4+7\,factores}\)
\(\Huge = x^{11}\)
Ejemplo 2:
simplifiquemos, \(\frac{10^4}{10^7}=10^{4-7}=10^{-3}=\frac{1}{10^3}\)
simplifiquemos,
\(\frac{10^4}{10^7}=10^{4-7}=10^{-3}=\frac{1}{10^3}\)
Recordemos que las propiedades de los exponentes se aplican a productos y cocientes, y no a adiciones ni a sustraciones.
Tampoco podemos multiplicar o dividir dos potencias de bases diferentes usando las propiedades 1 o 4. Es decir, \(x^4*y^5\)no puede simplificarse mediante \(x^m*x^n=x^{m+n}\), porque las bases no son iguales.
PREGUNTA: \(\frac{x^{-3}}{x^{-8}}=\)