8° MATEMÁTICAS

La media aritmética se calcula, exactamente, mediante la expresión:

\(\bf\Large Media\, aritmetica=\frac{Suma\, de\, los\, productos\, x_1\cdot{f_1}}{Numero\, de\, elementos\, de\, la\, muestra}\)

La mediana de una distribución agrupada de datos se calcula exactamente mediante el siguiente procedimiento:

• Se determina la diferencia entre el número total de datos \((\frac{1}{2}n)\) y la frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase mediana.
• Se calcula el cociente entre la diferencia anterior y la frecuencia absoluta de la clase mediana.
• Se multiplica el valor del cociente por la longitud del intervalo.
• Al límite inferior real de la clase mediana se suma el producto obtenido.

En donde:

n = número total de datos

Fa = Frecuencia acumulada del intervalo de clase que antecede al intervalo de la Mediana

c = ancho del intervalo de clase de la Mediana

La moda de una distribución agrupada se calcula mediante la expresión:

\(\bf\Large\frac{f_{cm}\,\, -\,\,f_{ca}}{f_{cm}\,\, -\,\,f_{cs}}=\frac{M_0-L_i}{L_s-M_0}\)

Donde:

\(M_o \ \Longrightarrow\) Cálculo de la Moda.

\(L_i \ \Longrightarrow\) Límite inferior.

\(L_s \ \Longrightarrow\) Límite superior.

\(f_{cm} \ \Longrightarrow\) Frecuencia absoluta de clase modal.

\(f_{ca} \ \Longrightarrow\) Frecuencia absoluta de clase premodal.

\(f_{cs} \ \Longrightarrow\) Frecuencia absoluta de clase postmodal.

Ejemplo:

Para los valores de la edad en meses de los alumnos de grado 8º de la muestra, calculemos los valores exactos de la media, la mediana y la moda.

Observemos la siguiente tabla de distribución de frescuencias de las edades.

Media aritmética \(=\frac{8145}{50}=162.9\) meses

Mediana \(=154.5+\frac{10\cdot{(25-5)}}{25}=154.5+8=162.5\) meses

Moda: \(\frac{25\ -\ 5}{25\ -\ 18}\ =\ \frac{20}{7}=\frac{M_0-154.5}{164.5-M_0}\)

De donde: \(20\cdot{M_0}+7\cdot{M_0}=20\cdot{164.5}+7\cdot{154.5}\)

\(27\cdot{M_0}=3290+1081.5\)

Luego: \(M_0=161.91\) meses.

Cuando se obtienen los valores específicos de las medidas de tendencia central de una muestra, podemos determinar algunas caracteísticas propias de la población. Por ejemplo, el que la media de los estudiantes de grado \(8^{\circ}\) sea \(1619\) meses, nos da a entender que el valor de la edad promedio, es decir, la edad que tendrían todos y cada uno de los estudiantes de la muestra si todos tuvieran la misma edad y la suma de las edades fuera la misma, es \(161.91\) meses.

PREGUNTA: En la ecuación de la media aritmética, \(x_i\) y \(f_i\) significa: