LIMITES LATERALES
Límite por la derecha:Se define el límite lateral por la derecha de a de la función f(x), y se expresa como:
\(\lim_{x\to a^+}=f(x)\)
al límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores mayores que a.
Límite por la izquierda: Se define el límite lateral por la izquierda de \(a\)de la función f(x), y se expresa como:
\(\lim_{x\to a^-}=f(x)\)
y se define como el límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a.
Para que una función f(x) tenga límite en x=a es necesario y suficiente que existan ambos límites laterales y coincidan, es decir:
\(\lim_{x\to a}=f(x)\) = \(\lim_{x\to a^+}=f(x)\) = \(\lim_{x\to a^-}=f(x)\)
Ejemplo:
Considera la función \(f(x)=\{ { \sqrt{x}\text{ si }0\leq x <4 \atop{\sqrt{x}-1}\text{ si } x>4}\). Calcular el limite cuando \(x \rightarrow 4\) por la derecha y cuando \(x \rightarrow 4\) por la izquierda.
Solución:
Límite por la derecha: Cuando \(x\rightarrow 4^+\), podemos efectuar la tabla:
Vemos que \(\lim_{x\to 4^+} f( x)=\lim_{x\to 4^+}\sqrt{x}-1=\sqrt{4}-1=2-1=1\)
Límite por la izquierda: Cuando \(x\rightarrow 4^-\), podemos efectuar la tabla:
Vemos que \(\lim_{x\to 4^-} f( x)=\lim_{x\to 4^-}\sqrt{x}=\sqrt{4}=2\)
Luego: los valores obtenidos para f( x) por la derecha y por la izquierda son diferentes. Significa que el límite de la función no existe.
Recordemos que una función sólo puede tener límite.
Una vez definido los limites laterales, podemos afirmar que si una función es continua en [a, b], decimos que f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.
PREGUNTA: ¿Qué valores se deben tomar para elaborar la tabla de valores que permita calcular el límite de una función f(x) por la derecha \(\lim_{x\to a^+}f(x)\)?