Para factorizar polinomios de la forma \([f(x)]^3 \pm [g(x)]^3\) con f(x) y g(x) funciones trigonométricas se procede mediante la formula:
\([f(x)]^3 \pm [g(x)]^3=(f(x) \pm g(x))([f(x)]^2 \mp f(x)g(x)+ [g(x)]^2)\).
Ejemplo:
Factorizar el binomio \(27 sen^3 x+125 sen^3 y\)
Solución:
Vemos que cada uno de sus términos es un cubo perfecto.
\(27 sen^3 x=(3 sen x)^3\) y \(125 sen^3 y=(5 sen y)^3\)
Así: \(27 sen^3 x+125 sen^3 y=(3 sen x)^3+(5 sen y)^3\)
Luego:
\(27 sen^3 x+125 sen^3 y\)
\(=(3 sen x+5 sen y )[(3 sen x)^2-\(3 sen x)(5 sen y)+(5 sen y)^2\)=27 sen^3 x+125 sen^3 y\)
\(=(3 sen x+5 sen y)(9 sen^2 x-15 sen x\, sen y +25 sen^2 y)\)
Algunos polinomios que pueden expresarse como diferencia de dos cuadrados son también de utilidad en la práctica:
Factorizar el polinomio \(sen^2 x-2 sen x\, sen y+sen^2 y - sen^2 z\)
Observamos que el trinomio \(sen^2 - sen x\, sen y+sen^2 y\) es el cuadrado perfecto de \((sen x-sen y)\)
Por lo tanto:
\(sen^2 x-2 sen x\, sen y+sen^2 y-sen^2 z\)
\(=(sen x-sen y)^2-sen^2 z\) que se transforma en una diferencia de cuadrados.
\(=\((sen x-sen y)-sen z\)\((sen x-sen y)+sen z\)\)
\(=(sen x-sen y-sen z)(sen x-sen y+sen z)\)
PREGUNTA: Factorizar el binomio \(16sen^3\ x-54sen^3\ y\)