TEOREMA DE BERNOULLI
Esta ecuación es la conservación de la energía para el líquido que va dentro de un tubo. No se puede plantear si el líquido tiene viscosidad. Así como los sólidos existe el rozamiento, en los líquidos se denomina viscosidad.
\(P_e+\frac{1}{2}\rho v_e^2+\rho gh_e=P_s+\frac{1}{2}\rho v_s^2+\rho gh_s\)
Donde
Simbología
Significado
Unidades
\(P_e\)
Presión de entrada
Pascales=Pa=\(\frac{N}{m^2}\)
\(P_s\)
Presión de salida
\(\rho\)
Densidad de líquido
\(\frac{Kg}{m^3}\)
\(v_e\)
Velocidad de entrada
\(\frac{m}{s}\)
\(v_s\)
Velocidad de salida
\(g\)
Aceleración de la gravedad
\(9.8\frac{m}{s^2}\)
\(h_e\)
Altura del líquido a la entrada del tubo o sistema
\(m\)
\(h_s\)
Altura del líquido a la salida del tubo o sistema
Para tubos horizontales \(h_e=h_s=0\)
Para tubos verticales se debe tener en cuenta por cuál extremo ingresa el fluído, ya que es un factor primordial a la hora de plantear las alturas de cada extremo.
Cuando el tubo cambia de diámetro de la sección de en medio se debe plantear cada cambio de sección por separado, es decir, que variable se tiene en cada sección en donde el cambio de diámetro se evidencia:
Para 2 tenemos \(P_2\), \(v_2\).
Para 3 tenemos \(P_3\), \(v_3\).
En caso de tubo inclinado tenemos diferentes valores para h.
Ejemplo:
Un tubo que conduce un fluido incomprensible cuya densidad es 1,30 x 103 kg/m3, es horizontal en h0 = 0 m. Para evitar un obdtáculo, el tubo se debe doblar hacia arriba, hasta alcanzar una altura de h1 = 1 m. El tubo tiene área transversal constante. Si la presión en la sección inferior es P0 =1,50 atm, calcule la presión P1 en la parte superior.
Solución:
Al tener área transversal constante, no debe cambiar la velocidad del fluido en su interior, por lo tanto: v0 = v1 = v
Entonces, aplicando la ecuación de Bernoulli, se tiene:
P0 + ρgh0 + ½ ρv2 = P1 + ρgh1 + ½ ρv2
P0 + ρgh0 = P1 + ρgh1 De donde: P1 = P0 + ρgh0 - ρgh1
Como P0=1,50 atm; 1atm = 101325Pa, entonces debemos convertir atmosfera a pascal
P1 = 151987,5 Pa + (1,30 x 103 kg/m3)(9,8m/s2)(0m) - (1,30 x 103 kg/m3)(9,8m/s2)(1m)
P1 = 151987,5 Pa – 12740 Pa
P1 = 139247,5 Pa = 1,37 atm
PREGUNTA: Un fluido fluye de izquierda a derecha por un tubo cilindrico. La densidad de la sustancia es 1,5 kg/m3. Su velocidad en el extremo de entrada es v0 = 2 m/s, y la presión allí es de 1,5 Pa y el radio de la sección es r0 = 10 cm. El extremo de salida está a 4,5 m abajo del extremo de entrada y el radio de la sección allí es r1 = 8 cm. Encontrar la presión P1 en este extremo del tubo?. Nota: para este ejercicio se utiliza la ecuación de continuidad, S1 v1 = S0 v0, donde S= πr2.