DINÁMICA DE LAS PARTICULAS
En cinemática, analizamos el movimiento de las partículas. En dinámica, estudiaremos como las interacciones producen el movimiento , y veremos que la segunda ley de newton es la ley fundamental de la dinámica.
Ley de la dinámica (Segunda ley de Newton)
La ley de la inercia indicaba que si no había fuerza sobre un cuerpo, este tenía un movimiento rectilíneo uniforme. Si ahora hacemos actuar una fuerza sobre un cuerpo, el cuerpo será acelerado
La experiencia muestra que la aceleración que experimenta es directamente proporcional a la fuerza y en la misma dirección, o sea que
\(\vec{F}=m\vec{a}\)
El factor de proporcionalidad \(m\), denominado masa, es prácticamente constante si la velocidad del cuerpo es muy inferior a la velocidad de la luz y depende de la velocidad del cuerpo para los otros casos, como se demostrara en la Relatividad.
Como nuestra técnica actual no permite obtener para los cuerpos macroscópicos velocidades tan grandes, (pero si para los cuerpos macroscópicos) toda nuestra ingeniería descansa aun sobre la ley de la dinámica, con m constante.
Notemos que la primera ley de Newton es un caso particular de la segunda, en la cual a=0
Diferencia entre masa y peso
Cuando un cuerpo de masa \(m\) cae libremente, su aceleración es la de la gravedad \(g\) y la fuerza que actúa sobre él es su peso w. Por tanto, la segunda ley de Newton nos dice que el peso es \(w=mg\).
Es muy conveniente, en las diferentes aplicaciones que haremos, expresar el peso de un cuerpo por su valor mg.
Sistema de unidades
La segunda ley de la dinámica permite fijar la fuerza como magnitud derivada a partir de las magnitudes fundamentales de masa, longitud y tiempo. Su dimensión es: \(F=MLT^{-2}\).
En el sistema MKS (metro-Kilogramo-segundo), la unidad de fuerza será aquella que produce en una masa de 1 kilogramo una aceleración de \(1\, m/seg^2\).
Esta unidad se llama 1 newton:
\(F(newton)=m(kilo)*a(m/seg^2)\)
\(1N=1\frac{kg*m}{s^2}\)
Solo utilizaremos este sistema por ser el de uso mas generalizado. A título de información damos rápidamente los otros sistemas que aún se utilizan.
En el sistema \(CGS\) (centímetro-gramo-segundo), la unida de fuerza (la DINA) será aquella que produce en una masa de un gramo de aceleración de un \(cm/seg^2\), o sea
\(F(dina)=m(gramo)a(cm/seg^2)\)
En el sistema técnico se ha escogido como unidad fundamental la fuerza con su unidad de kilo-fuerza como hicimos en la lección anterior, y por tanto la masa es una unidad derivada. La unidad de masa (unidad técnica de masa o u.t.m.) será la de un cuerpo al cual una fuerza de un kg-f produce una aceleración de un \(m/seg^2\), o sea
\(m(u.t.m.)=\frac{F(kg-f)}{a(pie/seg^2)}\)
En el sistema técnico ingles, la fuerza es también la unidad fundamental. La unidad de masa (slug) será la de un cuerpo al cual una fuerza de una libra produce una aceleración de un \(pie/seg^2\), o sea:
\( m(slug)=\frac{F(lb)}{a(pie/seg^2)}\)
ECUACIONES DINAMICAS DEL MOVIMIENTO
La segunda ley de Newton, \(\vec{F}=m\vec{a}\), es vectorial por lo tanto, si proyectamos sobre los ejes de coordenadas tenemos:
\(F_x=ma_x\)
\(F_y=ma_y\)
\(F_z=ma_z\)
Que denominamos las ecuaciones dinámicas del movimiento. Si se conoce la masa del cuerpo, se deducen las diferentes aceleraciones y de aquí las ecuaciones cinemáticas del movimiento.
Para el caso particular del movimiento circular uniforme, como sabemos que la aceleración es centrípeta y vale \(v^2/r\), la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es también centrípeta y vale
\(F=ma=m\frac{v^2}{r}\)
Esto nos permitirá conocer la velocidad del cuerpo.
REGLAS BÁSICAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE DINÁMICA
1. Dibujar un esquema general del problema.
2. Para cada cuerpo de estudio, se construye el diagrama vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo sin olvidar el peso mg y las fuerzas aun desconocidas. Cada fuerza se representa por un vector cuyo origen parte del cuerpo considerado como un punto.
3. Se escoge un sistema de coordenadas perpendiculares para cada cuerpo, cada eje en la dirección de la aceleración correspondiente y se calculan los componentes de las fuerzas. Frecuentemente, como las fuerzas son coplanarias, \(F_x\, Fy\, F_y\) serán suficientes.
4. Para cada eje de coordenada se escribe la segunda ley de newton y se resuelven las ecuaciones, para responder las preguntas formuladas. (Consideraremos las cuerdas y las poleas con masa despreciable y tomaremos \(g=10 m/seg^2\)).
APLICACIÓN DE LAS REGLAS BÁSICAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE DINÁMICA UTILIZANDO LAS LEYES DE NEWTON
Una bolsa de cemento de 325 Newton de peso cuelgan de 3 alambres como muestra la figura. Dos de los alambres forman ángulos:
θ1 = 600 θ2 = 250 con la horizontal.
Si el sistema esta en equilibrio encuentre las tensiones T1 , T2 y T3
\(T_{1y}=T_1*Sen60\)
\(T_{2y}=T_2*Sen25\)
\(T_{1x}=T_1*Cos60\)
\(T_{2x}=T_2*Cos25\)
\(\sum{F_x=0}\)
\(T_{1x}-T_{2x}=0\)
\(T_{1x}=T_{2x}\)
\(T_1*Cos60=T_2*Cos25\)
\(T_1\frac{Cos60}{Cos25}=T_2\)
\(T_1\frac{0.5}{0.9063}=T_2\)
\(T_1*0.5516=T_2\) ecuación 1
\(\sum{F_y=0}\)
\(T_{1y}+T_{2y}-W=0\)
\(T_{1y}+T_{2y}=W\)
\(T_{1y}+T_{2y}=325N\)
\(T_1Sen60+T_2Sen25=325N\)
\(0.866T_1+0.42226T_2=325N\) ecuación 2
Solucionamos el sistema de ecuaciones lineales (2 ecuaciones 2 incógnitas) Remplazamos 1 en 2
\(T_2=0.5516T_1\) ecuación 1
\(0.866T_1+0.42226*(0.55T_1)=325N\) ecuación 1 en 2
\(0.866T_1+0.233T_1=325N\)
\(1.099T_1=325N\)
\(T_1=\frac{325N}{1.099}\)
\(T_1=295.72N\)
\(T_2=0.5516T_1\)
\(T_2=0.5516*295.72N\)
\(T_2=163.11N\)
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Ejemplo 1:Apliquemos una fuerza de 30 newtons paralela al eje x y una fuerza de 40 newtons paralela al eje y a un cuerpo de masa 10 kg. ¿Cuál es la aceleración resultante?
La segunda ley nos da:
\(F_x=ma_x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, F_y=ma_y\)
\(30= 10 a_x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 40=10 a_y\)
\(a_x=3 m/seg^2\,\,\,\,\,\,\,\,\, a_y=4 m/seg^2\)
La magnitud de la aceleración resultante es
\(a=\sqrt{a^2_x+a^2_y}=5 m/seg^2\)
Y la dirección que hace con la horizontal se obtiene por:
\(tan\theta=\frac{4}{3}\)
Ejemplo 2:Un ascensor de masa \(m=100 kg\) tiene una aceleración hacia arriba de \(2 m/seg^2\). ¿Cuál es la tensión del cable que lo mueve?
\(T-mg=ma\)
\(T=ma+mg\)
\(=(100*2)+(100*10)=1200 nt\)
Notemos que la tensión del cable es mayor que el peso del ascensor. (Una aceleración hacia arriba indica que el ascensor esta subiendo acelerándose o que baja frenándose).
Ejemplo 3:¿Cuál es el peso aparente de una persona de 80 kg dentro del mismo ascensor con la misma aceleración?
Llamaremos peso aparente a la fuerza normal N que hace el suelo de una balanza sobre la persona.
Tenemos
\(N-mg=ma\)
\(N=ma+mg\)
\(=(80*2)+(80*10)=960 nt\) o sea cerca de 96 kg-f.
Ejemplo 4:Un bloque de 10 kg se mueve sobre un plano horizontal y esta unido por un hilo a un segundo bloque de 40kg. ¿cuál es la aceleración de los bloques y la tensión del hilo:
a) Cuando no hay rozamiento.
Para cada cuerpo, dibujamos las fuerzas aplicadas a él, sin olvidar la fuerza normal que produce le plano, y por la segunda ley con respecto a los ejes representados, tenemos:
Cuerpo A
\(F_x=ma_x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, T=ma\)
\(F_y=ma_y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, N-mg=0\)
En la dirección \(x\) denominaremos \(a\) la aceleración y en la dirección \(y\), como el cuerpo conserva siempre la misma ordenada, la aceleración es 0.
Cuerpo B
\(F_y=Ma_y;\, Mg-T=Ma\)
El eje y para este problema fue escogido hacia abajo, es decir en la dirección de la aceleración que en este caso es a, la misma que parea el cuerpo A debido a que el hilo no es elástico y por lo tanto cada cuerpo recorre distancias iguales en el mismo tiempo.
Reuniendo las tres ecuaciones numéricamente tenemos:
\(T=10 a\)
\(N-100=0\)
\(400-T=40 a\)
La resolución del sistema nos da
\(a=8 m/seg^2;\, T =80 nt\)
b) Hay rozamiento y el coeficiente de rozamiento es 0.2.
Debemos agregar la fuerza de rozamiento \(f=\mu N\) contraria al movimiento (figura b). La segunda ley nos da:
\(N-mg=0;\, T-f=ma;\, Mg-T=Ma\)
La resolución numérica nos da: \(a=7.6 m/seg^2;\, T=96 nt\).
Ejemplo 5:Un bloque sin velocidad inicial se desliza sobre un plano inclinado de \(37^\circ\). Después de 3 segundos qué distancia recorre.
a) si no hay rozamiento.
El peso se descompone en las dos componentes como se ve en la figura c, y por la segunda ley tenemos:
\(mg\, sen 37= ma\)
Los ángulos marcados \(37^\cir\) en la figura son iguales debido a que tienen los lados respectivamente perpendiculares y que son ángulos agudos.
Numéricamente tenemos:
\(g\, sen37^\circ=a\)
\(a=10*0.6=6 m/seg^2\)
Como la aceleración es constante, tenemos un movimiento uniformemente acelerado, o sea:
\(x=\frac{1}{2} at^2=\frac{1}{2}*6*3^2=27\, metros\)
b) Si hay rozamiento entre las dos superficies y el coeficiente de rozamiento es 0.2.
Agregamos la fuerza de rozamiento \(f\) contraria al movimiento (figura d) y por la segunda ley tenemos:
\(N-mg\, cos 37^\circ=0\)
\(mg\, sen 37^\circ-f=ma;\,\,\,\,\, f=\mu N\)
La resolución de este sistema de ecuaciones nos da:
\(a=4.4 m/seg^2\)
Y la distancia recorrida es:
\(x=\frac{1}{2} 4.4*3^2=19.8\, metros\)
PREGUNTA: Apliquemos una fuerza de 30 newtons a un cuerpo de masa 10 kg. ¿cuál es la aceleración resultante?