ACELERACIÓN DE LA PARTÍCULA
a) Aceleración media
Se determina utilizando las componentes de velocidad para \(x\) \(v_x\) y \(y\) \(v_y\) \(\vec{\bar{a}}=\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}\)
Cuyas componentes sobre los ejes son: \(\bar{a}_x=\frac{\Delta v_x}{\Delta t};\,\bar{a}_y=\frac{\Delta v_y}{\Delta t}\)
Ejemplo:
En el punto A de una circunferencia una partícula tiene una velocidad inicial de \(\vec {v}_0=3\, m/seg\). Después de recorrer ¼ de circunferencia en 10 segundos, su velocidad final es \(\vec {v}=4\, m/seg\) ¿Cuál es su aceleración media?
Por definición:
\(\vec{\bar{a}}=\frac{\vec{v_f}-\vec{v_i}}{t}\)
\(\vec{\bar{a}}=\frac{\vec{v}-\vec{v_0}}{10\)
Como estamos trabajando en el plano debemos encontrar la aceleración media utilizando el teorema de pitágoras para las componentes de \(v_x\) y \(v_y\)
\(\bar{a}=\frac{\sqrt{3^2+4^2}}{10}=0,5\, m/seg^2\)
La dirección de \(\vec{\bar{a}}\) esta dado en la figura.
APLICACIÓN MOVIMIENTOS EN DOS DIMENSIONES: EL PROYECTIL
Despreciando el efecto de la resistencia del aire, la experiencia muestra que los proyectiles en caída libre están sometidos solamente a una aceleración vertical \(\vec{g}\) dirigida hacia abajo. Por lo tanto, la componente en y de un proyectil tendrá un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (g constante) mientras que la componente en x tendrá un movimiento rectilíneo uniforme (no hay aceleración).
Supondremos que el proyectil parte del origen con una velocidad inicial \(v_0\) que forman un ángulo \(\theta_0\) con la horizontal y tomaremos el eje y hacia arriba.
Las ecuaciones cinemáticas serán:
\(a_x=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, a_y=-g\)
\(v_x=v_0\, cos\theta_0\,\,\,\,\,\,\,\,\, v_y=-gt+v_0\, sen\theta_0\)
\(x=v_0\, cos\theta_0\, t\,\,\,\,\,\,\,\,\, y=-\frac{1}{2}gt^2+v_0\,sen\theta_0\, t\)
Las preguntas que pueden surgir son:
a) ¿Cuál es la trayectoria del proyectil?
De las ecuaciones paramétricas x y y, eliminemos el tiempo:
\(t=\frac{x}{v_0\, cos\theta_0}\)
\(y=-1/2\, g(\frac{x}{v_0\, cos\theta_0})^2+\frac{sen\theta_0}{cos\theta_0}x\)
Tenemos una ecuación de la forma \(y=-ax^2+bx\), que es la ecuación de una parábola.
b) ¿Cuál es la velocidad del proyectil a un momento dado?
Por el teorema de Pitágoras, la magnitud es
\(v=\sqrt{v^2_x+v^2_y}\)
Y el ángulo que forma con la horizontal es \(tan\theta=\frac{v_y}{v_x}\)
c) ¿Cual es su máxima altura?
Esto sucede cuando su velocidad vertical se anula
\(v_y=0=-gt+v_0\, sen\theta_0\)
De aquí despejamos el tiempo y lo llevamos a la ecuación que nos da la coordenada y.
d) ¿Cuál es el alcance?
Es el valor de x cuando el proyectil allegado al suelo es decir, para \(y=0\); esto nos da:
\(0=-1/2\, gt^2+v_0\, sen\theta_0\, t=(-1/2\, gt+v_0\, sen\theta_0)t\)
\(t=\frac{2v_0\, sen\theta_0}{g}\)
Y lo llevamos a la ecuación de x
\(x=v_0\, cos\theta_0\,\frac{2v_0\, sen\theta_0}{g}\)
\(x=\frac{v^2_0}{g}\, sen\, 2\theta_0\,\, (2\, cos\,\theta\, sen\,\theta\, sen=\, 2\theta)\)
Con la ecuación de la trayectoria la respuesta era inmediata.
e) ¿para que valor del ángulo inicial \(\theta_0\), el alcance es máximo?
El alcance es máximo cuando \(sen\, 2\,\theta_0\) es máximo, es decir, cuando \(sen\, 2\,\theta_0=1\).
Por lo tanto, el ángulo \(2\theta_0\) es igual a 90° y \(\theta_0=\)45°.
Si el proyectil es lanzado horizontalmente , con velocidad \(v_0\) desde el origen, las ecuaciones cinemáticas se simplifican y se obtiene:
\(v_x=v_0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, v_y=-gt\)
\(x=v_0\, t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, y=-\frac{1}{2}gt^2\)
Estas ecuaciones se simplifican aun más si se toma el eje y hacia abajo. En este caso, g es positiva y las ecuaciones se escriben:
\(a_x=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, a_y=g\)
\(v_x=v_0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, v_y=gt\)
\(x=v_0\, t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, y=\frac{1}{2}gt^2\)
Ejemplo 1:
De arriba de una torre , se lanza una piedra con velocidad horizontal de 40 m/seg.
a) Escribir las ecuaciones cinemáticas del movimiento tomando el eje y hacia abajo.
\(a_x=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, a_y=10\)
\(v_x=40\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, v_y=10t\)
\(x=40t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, y=\frac{1}{2}10t^2\)
b) ¿Cuál es la altura de la torre si la piedra quedo en el aire 3 segundos? La torre de la altura es dad por la ordenada y o sea:
\(y=\frac{1}{2}10(3)^2=45\, m\)
c) ¿ A qué distancia del pie de la torre, la piedra alcanza al suelo?
\(x=40(3)=120\, m\)
d) ¿con qué velocidad la piedra alcanza al suelo?
Sabemos que \(v_x=40\), y que \(v_y=10(3)=30\)
Por tanto, la velocidad es:
\(v=\sqrt{v^2_x+v^2_y}=\sqrt{40^2+30^2}=50\, m/seg\)
Ejemplo 2:
Desde el suelo, un jugador de tenis comunica a una bola una velocidad de 10 m/seg, con un ángulo de 37° con la horizontal.
a) Tomando el eje y hacia arriba, escribir las ecuaciones del movimiento.
De la lección 5 sabemos que X es el desplazamiento de la pelota.
De la página anterior, y es la trayectoria de la pelota.
De acuerdo a los datos del ejemplo que nos dan las ecuaciones se nos transforman en las siguientes:
\(a_x=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, a_y=-10\)
\(v_x=10*0,8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, v_y=-10t+(10*0,6)\)
\(x=8t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, y=-\frac{10}{2}t^2+6t\)
b) ¿ A qué distancia del jugador la bola tocará el suelo?. Cuando la bola toca el suelo la ordenada y es 0, el tiempo de vuelo lo calculamos a partir de la ecuación de la trayectoria que calculamos anteriormente
por tanto, el tiempo de vuelo de la bola es:
\(0=-5t^2+6t;\, 5t^2=6t\)
\(t=\frac{6}{5}=1,2\, seg\)
Y la distancia x es:
\(x=8*1,2=9,6\, m\) (x es el alcance)
c) ¿Cuál fue la altura máxima de la bola?
Sabiendo que en el punto mas alto la componente en y de la velocidad es igual a cero entonces:
\(v_y=0=-10t+6\)
El tiempo para alcanzar esta posición es:
\(t=\frac{6}{10}=0,6\, seg\)
Y la ordenada y nos da altura máxima:
\(y=-5(0,6)^2+6(0,6)=1.8\, m\)
PREGUNTA: Lanzamos un proyectil con una velocidad inicial de 100 m/s en una dirección que forma un ángulo de 60º con la horizontal. Calcula: Su alcance y su altura máxima.