MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES: EL PLANO
El estudio anterior trataba de los movimientos en una dimensión. Ahora nuestro análisis será ampliado a los movimientos en dos dimensiones. La partícula se mueve en un plano y puede describir cualquier trayectoria.
Utilizaremos para este fin el concepto de vectores en un plano y de sus proyecciones sobre un sistema de coordenadas cartesianas.
Posición de una partícula
La posición de una partícula en un plano, con respecto a un sistema de referencia, se determina por medio de coordenadas (x,y), dando como primer punto la posición en el eje x, y el segundo punto la posición en el eje y.
Representemos la posición de una partícula en la coordenada (3,2) del plano:
Trayectoria de una partícula: Es la línea formada por las sucesivas posiciones por las que pasa un móvil.
Desplazamiento de una partícula: El desplazamiento de una partícula o móvil entre dos instantes queda determinado por el segmento que une las posiciones por las que pasa la partícula entre esos dos instantes.
El desplazamiento si la trayectoria es rectilínea coincide con el espacio recorrido entre dos instantes.
Veamos la gráfica:
DESPLAZAMIENTO RECTILÍNEO
DESPLAZAMIENTO CURVILÍNEO
Velocidad de una partícula
a) Velocidad media
El vector velocidad media de la partícula será la razón del desplazamiento al intervalo correspondiente, o sea:
\(\vec{\bar{v}}=\frac{\Delta\vec{s}}{\Delta t}\)
Donde \(\Delta \vec s\) es el desplazamiento.
Las componentes de \(\vec{\bar{v}}\) son:
\(\bar{v}_x=\frac{\Delta x}{\Delta t};\, \bar{v}_y=\frac{\Delta y}{\Delta t}\)
La magnitud de la velocidad que denominaremos rapidez se obtendrá por el teorema de Pitágoras:
\(v^2=v^2_x+v^2_y\)
Y el ángulo que forma la velocidad con el eje \(x\) se expresara así:
\(tan\theta=\frac{v_y}{v_x}\)
Ejemplo 1:
a) Un cuerpo se mueve desde un punto A \((3,0)\) hasta un punto B (0,4) en 10 segundos. ¿cuál es el vector velocidad media? (las distancias en metros).
El vector de desplazamiento, por teorema de Pitágoras será:
\(\Delta s=\sqrt{3^2+4^2}=5\, m\)
La velocidad media es \(\bar{v}=\frac{5}{10}=0,5\, m/seg\) y dirigida de \(A\) hacia \(B\).
Ejemplo 2:
Sea un movimiento dado por \(x=6t;\, y=8t\) (distancia en \(m\) y tiempo en \(seg\))
a) ¿Cuál es la velocidad de la partícula?
El movimiento se efectúa en el plano xy; tenemos dos movimientos rectilíneos uniformes, de velocidades:
\(v_x=6m/seg;\ v_y=8m/seg\)
La velocidad de la partícula es:
\(v=\sqrt{6^2+8^2}=10\, m/seg\)
La dirección esta dada por:
\(tan\theta=\frac{v_y}{v_x}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\)
b) ¿Cuál es la trayectoria de la partícula?
Despejando t de una de las ecuaciones y remplazando en la otra obtenemos:
\(t=\frac{x}{6}\)
y=8t
\(y=8\frac{x}{6}\)
\(y=\frac{4}{3}x\) Si observamos ésta es la ecuación de una recta de la forma\(y=mx+b\) con pendiente \(m=\frac{4}{3}\), y por tanto ésta es la ecuación que determina la trayectoria de dicha partícula.
PREGUNTA: Sea un movimiento dado por \(x=3t + 4;\, y=7t\) (distancia en m y tiempo en seg). ¿Cuál es la magnitud y dirección de la velocidad?. Recuerde que para calcula las componentes en los ejes coordenados, de la velocidad debe calcularlas teniendo en cuenta las pendientes de las rectas del movimiento que se describe.