CAÍDA LIBRE
Un buen ejemplo de movimiento uniformemente acelerado es el movimiento de caída libre. La experiencia muestra que todos los cuerpos en el vacío que caen o suben se ven afectados por la ACELERACIÓN de la gravedad, la cual es aproximadamente a \(9,8 m/seg^2\) (para facilitar el cálculo trabajaremos con \(g=10 m/seg^2\)), y está dirigida hacia el centro de la tierra.
Por lo tanto, para el estudio del movimiento vertical de un cuerpo en el vacío, un solo conjunto de ecuaciones es suficiente y nos indica a cada instante, la posición y la velocidad del cuerpo.
Ecuaciones cinemáticas:
\(x=x_i+v_it+\frac{1}{2}at^2\)
\(v_f=v_i+at\)
\(v^2_f=v^2_i+2ax\)
Veamos algunos ejemplos de aplicación:
Ejemplo 1:
Se lanza una piedra hacia arriba con una velocidad de \(40\, m/seg\). Para todos los ejercicios tomaremos la aceleración de la gravedad \(10 m/seg^2\) y dirigida hacia abajo.
Calcular:
a) ¿A que altura sube la piedra?
Escogemos el eje x dirigido hacia arriba, por lo tanto la velocidad inicial es \(v_i=40\, m/seg\) mientras que la aceleración es \(a=-10\, m/seg^2\), negativa porque va en el sentido del eje x negativo.
Tomando \(x_i=0\), ya que la piedra inicia el movimiento desde el origen, las ecuaciones cinemáticas se reducen a:
\(x=v_it+\frac{1}{2}at^2\)
En el punto más alto, la velocidad de la piedra es \(0\), por lo tanto \(v_f=0\).
\(v_f^2=v^2_i+2ax\)
\(0=40^2+2(-10)x\)
\(-40^2=2(-10)x\)
\(-1600=-20x\)
\(x=\frac {-1600}{-20}\)
\(x=80\, m\) ésta es la altura o el desplazamiento que realizó la piedra.
b) ¿Qué tiempo tardó para llegar al punto más alto?
\(0=40+(-10)t\)
\(t=4\, seg\)
c) Al cabo de dos segundos, ¿cuál es la posición de la piedra?
\(x=\frac{1}{2}at^2+v_it\)
\(x=\frac{1}{2}(-10)2^2+(40)*2\)
\(x = 60\, m\)
d) Al cabo de dos segundos ¿cuál es la velocidad?
\(v_f=at+v_i\)
\(v_f=-10*2+40\)
\(v_f=20\, m/seg\)
e) Al cabo de seis segundos, ¿cuál es la posición?
\(x=\frac{1}{2}(-10)6^2+(40)6\)
\(x =60\, m\)
La posición es la misma que en c). Esto nos indica que la piedra después de pasar por la altura máxima, cae regresando a su posición inicial.
f) Al cabo de \(6\) segundos ¿cuál es la velocidad?
\(v_f=at+v_it\)
\(x=\frac{1}{2}(-10)6+40\)
\(v_f=-20\, m/seg\)
La velocidad es dirigida hacia abajo.
Ejemplo 2:
Desde la cima de una torre se deja caer, sin velocidad inicial, una piedra. ¿Cuáles son las ecuaciones cinemáticas del movimiento?
Aquí, es preferible escoger el eje x hacia abajo; por tanto la aceleración de la gravedad g es positiva y vale \(+\, 10 m/seg^2\).
Inicialmente la piedra se encuentra en el origen \(x_i=0\)y en reposo \(v_i=0\). Las ecuaciones cinemáticas son:
\(x=\frac{1}{2}at^2\)
\(v_f=at\)
\(v^2_f=2ax\)
Reemplazando los valores conocidos tenemos las ecuaciones cinemáticas que nos solicita el problema.
\(x=\frac{1}{2}10t^2\)
\(v_f=10t\)
\(v_f^2=2(10)x\)
Si proponemos que la altura de la torre es \(x=20\, m\), entonces podemos remplazar y encontrar los valores de velocidad de llegada al suelo \(v_f=20m/seg\) y el tiempo de la caída \(t=2\, seg\).
NOTA: En los movimientos rectilíneos generalmente se toma la trayectoria en la dirección del eje x o y.
Cuando un vector, con aceleración \(a\) ó \(g\) ó velocidad inicial \(v_i\) tiene la misma dirección de la trayectoria, su signo es positivo. Cuando el vector tiene la dirección contraria a la trayectoria, su signo es negativo.
Ejemplo 3:
Se lanza una piedra hacia abajo con una velocidad de 40 m/seg. Escribir las ecuaciones del movimiento, tomando el eje x hacia abajo.
Con esta dirección del eje x, la aceleración g y la velocidad inicial son positivas; las ecuaciones son:
\(x=\frac{1}{2}10t^2+40t\)
\(v_f=10t+40\)
\(v_f^2=40+2(10)x\)
Si proponemos un tiempo de caída de 2 segundos, las ecuaciones anteriores nos dan la posición \(x=100\, m\) y la velocidad final de la piedra \(v_f=60m/seg\).
PREGUNTA: En el problema 1, sobre el lanzamiento de la piedra. Cuál seria la posición de la piedra, al cabo de 10 segundos?