SUCESIONES CONVERGENTES, DIVERGENTES Y OSCILANTES
En la lección anterior vimos como las sucesiones pueden ser acotadas superior e inferiormente.
Ahora estudiaremos cómo se clasifican éstas sucesiones acotadas:
Sucesiones convergentes
Una sucesión (a_n)=(a_1,a_2,a_3,...,a_n,...) es convergente si todos los términos (a_n) de la sucesión se van aproximando cada vez mas a un cierto numero real al que se llama punto de convergencia o limite.
Ejemplo:
Encontrar el punto de convergencia de la sucesión \((c_n)=(\frac{n+1}{n})\)
Solución:
Para \((c_n)=(\frac{n+1}{n})=(2,\,\frac{3}{2},\,\frac{4}{3},\,\frac{5}{4},\,\cdots,\,\frac{101}{100},\,\cdots,\,\frac{1001}{1000}\,\cdots\,)\)
Se observa que todos sus términos son menores que 2 pero si remplazamos valores cada vez más grandes de "n" todos sus términos se van acercando a 1. Luego el punto de convergencia o límite de esta sucesión es 1.
Sucesiones Divergentes: Una sucesión (a_n)=(a_1,a_2,a_3,...,a_n,...) es divergente si todos los términos (a_n) de la sucesión no se aproximan a un valor real.
Por tanto las sucesiones divergentes no tienen límite.
Verificar que la sucesión (a_n)=(n+3 es divergente.
Los primeros términos de la sucesión \((a_n)=(4,5,6,7,8,\,\cdots)\) nos muestran que la sucesión no se acerca a ningún valor real, por el contrario sus términos son cada vez más grandes, es decir, tienden a \(\infty\).
Por tanto la sucesión(a_n)=(n+3) es divergente.
Veamos otro ejemplo:
La secuencia \(\{a_n\}=\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots, \frac{1}{n},\ldots\}\) es convergente porque:
\(\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{n})=0\)
La secuencia \(\{b_n\}=\{1, 2, 3,\ldots, n,\ldots\}\) es divergente porque:
\(\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty} n\) no existe
porque cuando n se hace muy grande, \(b_n=n\) se hace muy grande y no se aproxima a ningún valor constante, por el contrario tiende a \(\infty\).
Sucesiones oscilantes: Una sucesión (a_n)=(a_1,a_2,a_3,...,a_n,...) es oscilante cuando sus términos no convergen ni divergen a ningún valor. esto significa que los término de la sucesión alternand de mayor a menor o visceversa.
La sucesión \(a_n={1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...}\).
Observamos que el primer término es mayor al segundo, el segundo es menor que el tercero, el tercer término es mayor que el cuarto término y así sucesivamente.
PREGUNTA: La sucesión \(\frac{1}{n^2}\) es: