3 Lección: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

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Existe una relación muy estrecha entre las matrices y los sistemas. Examinemos el siguiente ejemplo, en el cual resolveremos un sistema con dos ecuaciones lineales por medio de matrices.

Ejemplo:

 

Resolvamos el sistema \(\displaystyle{\left\{{3x-4y=5\atop 2x+5y=-12\) utilizando matrices.

 

Expresemos el sistema como una matriz. Los elementos que se hallan antes de la línea punteada, son los coeficientes de las incógnitas y los elementos que están después de la línea, son los términos independientes.

matriz1

 

Notemos que en el proceso, si mantenemos la posición de la variable \(x\) siempre a la izquierda de \(y\), podemos prescindir de las letras y de los símbolos \(+\, e\, =\), ya que lo impotante son los coeficientes. de esta forma podemos usar lo que se llama la matriz aumentada del sistema para resolverlo, efectuando las correspondientes operaciones que se hicieron con las ecuaciones en las filas de la matriz.

 

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

 

\(ax+by=e\atop\Large cx+dy=f\)

 

La matriz

 

\(\(\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d\end{array}\)\) se llama matriz de coeficientes del sistema.

 

Y la matriz matriz2 se llama matriz aumentada del sistema.

 

Para el sistema anterior, la matriz de coeficiente es

 

 

 

\(\(\begin{array}{cc}
3&-4\\
2&5\end{array}\)\)

 

 

y la matriz aumentada es matriz3.

 

 

 

 

 

Después de formar la matriz aumentada de un sistema podemos trabajar con las filas de esta, usando las siguientes trasformaciones, para obtener, en cada paso, una matriz más sencilla, de un sistema equivalente al original.

 

 

 

 

 

Pasos para trasformar filas en una matriz

 

  1. Intercambiamos dos filas
  2. Multiplicamos toda ka fila por el mismo real \(k,\, k\neq 0\)
  3. Multiplicamos una fila por un número real diferente de cero y adicionamos cada elemento de dicha fila al elemento correspondiente de otra fila.

     

Para facilitar la explicación de cada paso, usaremos \(R_i\) para denotar la fila \(l\). Así, \(2R_1\) significa que hemos multiplicado la fila 1 por 2, \(-3R_2+R_1\) significa que hemos multiplicado la fila 2 por -3 y hemos adicionado los correspondientes elementos de la fila 1 con los productos obtenidos de la fila 2, y \(R_1\longleftrightarrow R_2\) indica que se han intercambiado las filas 1 y 2.

 

 

 

 

 

El método que usaremos para hallar la solución, si existe, de un sistema de ecuaciones lineales se resume a continuación.

 

 

 

Ejemplo:

 

 

 

Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones:

 

 

 

 

\(\displaystyle{\left\{{4x-3y=-15\atop\Large x+2y=-1\)

 

 

 

 

 

matriz4.1

 

PREGUNTA: Las matriz aumentada \(\begin{bmatrix}{-1}&{1}&{1}\\{-2}&{2}&{2}\end{bmatrix}\) ¿cual es la solución del sistema?