9° MATEMÁTICAS

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

El logaritmo en base \(r\) del término n-ésimo de una progresión geométrica es \(n\), para \(n\in\mathbb{N}\) si:

• \(r\) es la razón de la progresión geométrica
• \(n\) es la razón al cual se tiene que elevar la razón, para obtener el término.

Consideremos ahora la sucesión geométrica:

\(\cdots\frac{1}{729},\frac{1}{243},\frac{1}{81},\frac{1}{27},\frac{1}{9},\frac{1}{3},\, 1,\, 3,\, 9,\, 27,\, 81,\, 243,\, 729\cdots\)

Expresémoslas en potencia de 3

\(\cdots\frac{1}{3^6},\frac{1}{3^5},\frac{1}{3^4},\frac{1}{3^3},\frac{1}{3^2},\frac{1}{3},\, 3^0,\, 3,\, 3^2,\, 3^3,\, 3^4,\, 3^5,\, 3^6\cdots\)

Ahora escribamos los exponentes así:

\(\cdots\, 3^{-6},\, 3^{-5},\, 3^{-4},\, 3^{-3},\, 3^{-2},\, 3^{-1},\, 3^0,\, 3,\, 3^2,\, 3^3,\, 3^4,\, 3^5,\, 3^6\cdots\)

Si aceptamos que el conjunto de los números enteros es una "sucesión aritmética de razón 1" y analizamos que los exponentes de la razón \((r=3)\) son los números enteros, entonces podemos plantear la siguiebte expresión logarítmica:

\(log_3\,\frac{1}{9}=log_3 3^{-2}=-2\)

\(log_3 1=log_3 3^0=0\)

Es decir, relacionado el exponente de la razón, \((r)\) y la operación logaritmo en base \(r\), encontramos que el fenómeno se repite y por eso podemos afirmar que, en general, se cumple:

\(k\) es el logaritmo en base \(r\) del n-ésimo término de una progresión geométrica donde:

• 1 es uno de los términos de la progresión
• \(r\) es la razón de la progresión geométrica
• \(k\) es el exponente al cual se tiene que elevar la razón, \(k\in\mathbb{Z}\).

Por lo tanto, cada término de una sucesión aritmética es el logaritmo en base \(r\) del términocorrespondiente de una sucesión geométrica con razón \(r\) siempre y cuando:

• Cada término de la sucesión aritmética con cero comouno de sus términos, es el exponente al cual debe elevarse la razón de la sucesión geométrica
• 1 debe ser el término que corresponde a 0.

El logaritmo en base \(b\) que un úmero real positivo A es el exponente al cual se debe elevar a \(b\) para obrtener el número A. La expresión \(x=log_b A\) es equivalente a \(b^x=A\)

Ejemplo:

Encontremos \(log_3(\frac{1}{243})\)

Sabemos que \(243=3^5\). Como \(\frac{1}{243}=\frac{1}{3^5}=3^{-5}\)

Luego: \(log_3 3^{-5}=-5\)

de acuerdo con las condiciones de las sucesiones geométricas y aritméticas comparadas, aparecen ciertas para el logaritmo de un número real:

• La base de todo logaritmo es un número real positivo diferente de 1, por cuanto la base es la razón de la progresión geométrica.
• Sólo los números reales positivos tiene logaritmo con base positiva.
• Para cualquiera que sea la base, el logaritmo de 1 es siempre 0
• Como el número 0 no es un elemento de las progresiones geométricas con razón positiva, entonces 0 no tiene logaritmo en base alguna.
• El logaritmo en base \(b\) del número \(b\) es 1, para cualquier número real \(b\) positivo, diferente de 1.

Der acuerdo mcon estas propiedades construimos la función logarítmica en base \(a\), con \(a\) positivo y diferente de 1; esta función hace corresponder a cada número real \(x\) él número real \(f( x)=log_a x\)

Sabemos que la función exponencial, en base \(a>0\), hace corresponder a cada número real \(x\) la única potencia \(a^x=\mathbb{N}\), y que la función logarítmica, en base \(a\), hace corresponder a cada número real \(\mathbb{N}\) el exponente \(x\) al cual debe ser elevado \(a\) para obtenerlo; por tanto0:

La función logarítmica \(f( x)=log_a x\) realiza el proceso inverso de la función exponencial y se conoce como la inversa de la función exponencial \(f( x)=a^x\).

En la gráfica se representa la función logarítmica de base 3 y la exponencial correspondiente. Tanbién se observa que a medida que \(x\) crece, el logaritmo de x también crece.

Vea una explicación de la función logarítmica en el siguiente vídeo:

Dirección url del vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=cb7iMCuBsIs

PREGUNTA: Segun la gráfica el logaritmo en base 3 de 1 es: