Una sucesión en la cual cada término es igual al anterior multiplicado por un valor constante, se llama progresión geométrica. En forma equivalente, una progresión geométrica es una sucesión en la cual el cociente de cada término y el anterior es constante, esto es, \(\frac{a_n}{a_{n-1}}=r\), con \(r\) constante. El valor \(r\) se llama la razón de la sucesión geométrica.
En una progresión geométrica o sucesión geométrica el n-ésimo término \(a_n\) puede expresarse a partir del término anterior como \(a_n=a_{n-1}*r\) o también como \(a_n=a_1*r^{n-1}\), en donde \(a_1\) es el primer término de la progresión y \(r\) es el cociente constante o razón de la progresión.
Ejemplo:
Teniendo en cuenta la sucesión cuyos términos son {-5, 10, -20, 40, -80, ...}, hallemos:
a) La razón b) El decimoquinto término c) Determinemos si la sucesión es creciente o decreciente
a) La razón
b) El decimoquinto término
c) Determinemos si la sucesión es creciente o decreciente
Solución:
La sucesión cuyos cinco primeros términos son: -5, 10, -20, 40, -80,... es una progresión geométrica, porque:
a) El cociente constante o razón de la progresión es -2, ya que cada término se obtiene multiplicando por -2 al anterior. b) El decimoquinto término se puede calcular aplicando la expresión \(a_n=a_1*r^{n-1}\), en donde \(a_1=5,\, n=15\, y\, r=-2\). Entonces:\(a_15=(-5)*(-2)^{14}=(-5)*(16384)=-81.920\) c) La sucesión no es creciente ni decreciente, porque hay términos algunas veces mayores y otras veces menores que el anterior.
a) El cociente constante o razón de la progresión es -2, ya que cada término se obtiene multiplicando por -2 al anterior.
b) El decimoquinto término se puede calcular aplicando la expresión \(a_n=a_1*r^{n-1}\), en donde \(a_1=5,\, n=15\, y\, r=-2\). Entonces:\(a_15=(-5)*(-2)^{14}=(-5)*(16384)=-81.920\)
c) La sucesión no es creciente ni decreciente, porque hay términos algunas veces mayores y otras veces menores que el anterior.
En una progresión geométrica los términos entre el primero y el n-ésimo se llaman medios geométricos entre \(a_1\, y\, a_n\)
El cuarto y octavo términos de una progresión geométrica son 9 y 144, respectivamente. ¿Cuáles son los términos intermedios?
La progresión que se va a "completar" tiene la siguiente formaa:
\(a_1,\, a_2,\, a_3,\, a_4=9,\, a_5,\, a_6,\, a_7,\, a_8=144,\, a_9,\cdots\)
Podemos considerar otra progresión geométrica donde el primer término sea 9, es decir \(a_4\), así:
\(b_1=9,\, b_2=a_5,\, b_3=a_6,\, b_4=a_7,\, b_5=144,\, b_6=a_9\cdots\)
Como \(b_1=9\, y\, b_5=144\), entonces:
\(b_5=b_1*r^{5-1}\), es decir \(144=9*r^4\) \(16=r^4\), por tanto estrayendo la raíz cuarta obtenemos: \(r=\pm 2\)
\(b_5=b_1*r^{5-1}\), es decir \(144=9*r^4\)
\(16=r^4\), por tanto estrayendo la raíz cuarta obtenemos: \(r=\pm 2\)
Es decir que \(r=2\, o\, r=-2\) y para cada razón hay una progresión con el primero y el cuarto términos dados, ellas son:
9, 18, 36, 72, 144,... En este caso los términos intermedios son: 18, 36, 72.
9, -18, 36, -72, 144,... Aquí los términos intermedios son: -18, 36, -72.
La serie asociada a una sucesión o progresión geométrica se llama serie geométrica. El término \(s_n\) de una serie geométrica es \(s_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n\) en donde cada sumando es un término de la progresión geométrica.
El siguiente proceso nos muestra cómo conseguir una expresión pàra el n-ésimo término de la serie geométrica, en el cual esté presente el cociente constante o razón de la progresión.
Consideremos la suma \(s_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n\) expresemos cada sumando en términos de \(a_1\, y\, r\). Organicemos los datos en la tabla:
\(a_1\)
\(a_2\)
\(a_3\)
\(a_4\)
...
\(a{n_2\)
\(a_{n-1}\)
\(a_n\)
\(a_1*r^1\)
\(a_1*r^2\)
\(a_1*r^3\)
\(a_1*r^{n-3}\)
\(a_1*r^{n-2}\)
\(a_1*r^{n-1}\)
Remplacemos cada sumando por el equivalente de la tabla;
\(S_n=a_1+a_1*r^1+a_1*r^2+a_1*r^3+a_1*r^4+\cdots +a_1*r^{n-3}+a_1*r^{n-2}+a_1*r^{n-1}\)
Multiplicamos ambos lados de la igualdad por \(r\).
\(r*S_n=a_1*r^1+a_1*r^2+a_1*r^3+a_1*r^4+\cdots +a_1*r^{n-3}+a_1*r^{n-2}+a_1*r^{n-1}\)
Al efectuar la diferencia \(r*S_n-S_n\) obtenemos: \(r*S_n-S_n=a_1*r^n-a_1\)
Factorizando tenemos: \((r-1)S_n=a_1*(r^n-1)\)
\(S_n=a_1*\frac{(r^n-1)}{r-1}\), con \(r\neq 1\) o en forma equivalente \(S_n=a_1\frac{(1-r^n)}{1-r}\), con \(r\neq 1\).
Hallemos el décimo término de la serie asociada a la sucesión \(\frac{1}{16},\,\frac{1}{8},\,\frac{1}{4},\,\frac{1}{2},\, 1,\, 2\cdots\)
Para la sucesión \(\frac{1}{16},\,\frac{1}{8},\,\frac{1}{4},\,\frac{1}{2},\, 1,\, 2\cdots\) el décimo térmnio de la serie es: \(S_{10}=\frac{1}{16}\frac{(1-2^{10})}{1-2}=\frac{1023}{16}\)
Para la sucesión \(\frac{1}{16},\,\frac{1}{8},\,\frac{1}{4},\,\frac{1}{2},\, 1,\, 2\cdots\) el décimo térmnio de la serie es:
\(S_{10}=\frac{1}{16}\frac{(1-2^{10})}{1-2}=\frac{1023}{16}\)
PREGUNTA: El séptimo término de la serie geométrica asociada a la sucesión geométrica 2, 0.2, 0.02, 0.002, es: \(S_7=2.222222\)