Para algunas rotaciones se cumple que al aplicarlas repetidas veces (dos o más) equivalen a la rotación idéntica de 0° (o 360°) o alguna otra rotación, como vemos en la figura.
Notaremos por \(R_{\theta}\) la acción que produce sobre todo punto del plano una rotación de \(\theta\) grados; por ejemplo la acción \(R_{90^{\circ}}\) aplicada a continuación de la acción \(R_{180^{\circ}}\) produce la acción \(R_{270^{\circ}}\), que simbolizamos \(R_{90^{\circ}}\bullet R_{180^{\circ}}\). Así podremos afirmar que:
\(R_{180^{\circ}}\bullet R_{180^{\circ}}=R_{0^{\circ}}\)
\(R_{60^{\circ}}\bullet R_{60^{\circ}}\bullet R_{60^{\circ}}=R_{180^{\circ}}\)
\(R_{90^{\circ}}\bullet R_{90^{\circ}}\bullet R_{90^{\circ}}\bullet R_{90^{\circ}}=R_{360^{\circ}}=R_{0^{\circ}}\)
\(R_{90^{\circ}}\bullet R_{90^{\circ}}=R_{180^{\circ}}\)
La acción de una rotación puede compararse con la acción que produce sobre un punto o un vector la multiplicación por cierto número complejo; por ejemplo, si multiplicamos por el complejo \((-1)\) al número complejo \((a+bi)\), obtenemos le número complejo \((-a-bi)\). También se obtiene el complejo \(-a-bi\) como el resultado de rotar \((a+bi)\) un ángulo de \(180^{\circ}\), es decir, al aplicra \(R_{180^{\circ}}\) sobre \((a+bi)\) obtenemos \(R_{180^{\circ}}\bullet (a+bi)=(-a-bi)\).
Además, si aplicamos dos veces \(R_{180^{\circ}}\) sobre este complejo, como nos lo muestra la siguiente figura, encontramos que:
\((R_{180^{\circ}}\bullet R_{180^{\circ}})\bullet (a+bi)=R_{180^{\circ}}\bullet (R_{180^{\circ}}\bullet (a+bi)\)
\(=R_{180^{\circ}}\bullet (-a-bi)=R_{0^{\circ}}\bullet (a+bi)=(a+bi)\)
O equivalentemente:
\((-1)(-1)(a+bi)=(-1)[-a-bi]=a+bi\)
Una rotación sobre un número complejo equivale a la acción que se obtiene cuando le complejo se multiplica por otro.
Multiplicar un número complejo por \(i\) equivale a rotarlo \(90^{\circ}\)
Ejemplo:
Multipliquemos el complejo \(2+5i\) por \(0-i\) y comparamos este producto con la aplicación de la rotación \(R_{270^{\circ}}\) al complejo \(2+5i\)
Solución:
Multiplicando los vectores tenemos: \((2+5i)(0-i)=(2)(0)-2(i)+(5i)(0)-(5i)(i)\) \(=0-2i+0-5i^2\) \(=-2i-5(-1)\) \(=-2i+5\) \(5-2i\) En la figura, tenemos la presentación de este producto. Representemos ahora en la siguiente figura, el vector \(2+5i\) y el vector resultante de rotarlo \(270^{\circ}}\), \(R_{270^{\circ}}\), la que se realiza aplicando alnúmero complejo dado una rotación \(R_{90^{\circ}}\) y otra \(R_{180^{\circ}}\). Al comparar las figuras, vemos que sí existe una equivalencia entre estos procedimientos.
Multiplicando los vectores tenemos:
\((2+5i)(0-i)=(2)(0)-2(i)+(5i)(0)-(5i)(i)\)
\(=0-2i+0-5i^2\)
\(=-2i-5(-1)\)
\(=-2i+5\)
\(5-2i\)
En la figura, tenemos la presentación de este producto.
Representemos ahora en la siguiente figura, el vector \(2+5i\) y el vector resultante de rotarlo \(270^{\circ}}\), \(R_{270^{\circ}}\), la que se realiza aplicando alnúmero complejo dado una rotación \(R_{90^{\circ}}\) y otra \(R_{180^{\circ}}\).
Al comparar las figuras, vemos que sí existe una equivalencia entre estos procedimientos.
Los complejos de la forma \(\bf m+0i\), es decir los números reales, pueden interpretarse como ampliadores o reductores combinados con rotaciones de \(0^{\circ}\, o\, 180^{\circ}\). Por su parte los complejos de la forma \(\bf 0+ni\), es decir, los imaginarios, pueden interpretarse como ampliadores o reductores combinados con rotaciones de \(90^{\circ}\, o\, de\, 270^{\circ}\).
PREGUNTA: Al realizar el producto o multiplicación de un número complejo por \(0-i\) obtenems una rotación de: