De acuerdo con la lección anterior, un número complejo \(a+bi\) está determinado por un par de números reales \(a\) y \(b\). De esta manera a cada número complejo le corresponde un par de números reales y, recíprocamente, a cada par de números reales le corresponde un único número complejo. Por ejemplo, al número complejo \(a+bi\) le corresponde la pareja de números reales \((a+b)\); si tengo una pareja \((a,b)\) de números reales, puedo determinar un número complejo, así:
\(\red (a+bi)\) \(\Longleftrightarrow\) \(\blue (a,b)\)
De otra parte, al estudiar el plano cartesiano, a cada punto del plano le hemos asignado un par de números reales que son sus coordenadas, y a cada par de números reales le hacemos corresponder un único punto del plano, combinamos esas dos representaciones.
Es posible hacer corresponder a cada numero complejo \(a+bi\) la pareja de números reales (a, b) y consecuentemente el punto A, con abcisa \(a\) y ordenada \(b\). Al establecer esta correspondencia, al plano en el cual se representan los números complejos (como parejas de números reales) lo llamamos plano complejo, al eje x, eje real y al eje y, eje imaginario. ¿Por qué?.
Existe una correspondencia biunívoca entre los números complejos y las parejas de números reales, por tanto, también existe una correspondencia entre los números complejos y los puntos del plano.
En conclusión, podemos representar un número complejo como una pareja de números reales (x, y) o como un punto P del plano, como lo vemos en la figura.
Ejemplo:
Representemos el número complejo \((3-2i)\) como un par ordenado de números reales y como un punto del plano.
Al complejo \(3-2i\) le corresponde la pareja de números reales (3,-2).
El complejo \(3-2i\) lo representamos con el punto M de coordenadas (3, -2), que aparece en la siguiente figura.
El número complejo \(a+bi\) lo podemos representar como el punto P de coordenadas (a, b); la longitud del segmento OP que une el origen con el punto P la llamaremos modulo (o radio vector) del número complejo \(a+bi\) y la simbolizamos \(\mid a+bi\mid\).
En el triangulo rectángulo OAP por el teorema de Pitágoras, tenemos:
\((m\bar{OP})^2=(m\bar{OA})^2+(m\bar{AP})^2\)
\((m\bar{OP})^2= a^2+b^2\)
\((m\bar{OP})^2=\sqrt{a^2+b^2}\)
\(\mid a+bi\mid =\sqrt{a^2+b^2}\)
Recordemos que el número real \(a^2+b^2\) es igual al producto \((a+bi)(a-bi)\), es decir, el producto de un número complejo por su conjugado es igual al cuadrado del modulo del número complejo.
El modulo del complejo \(a+bi\) es el número real positivo \(\sqrt{a^2+b^2}\), que corresponde a la longitud del segmento OP que va del origen de coordenadas al punto P, que representa al complejo \(a+bi\). Se nota \(\mid a+bi\mid\)
Calculemos y representemos gráficamente el modulo del complejo \(-2+5i\).
El modulo del complejo \(-2+5i\) es la longitud del segmento OP de la figura.
Sabemos que:
\(\mid a+bi\mid=\sqrt{a^2+b^2}\)
Sustituyendo los valores tenemos:
\(\mid -2+5i\mid=\sqrt{(-2)^2+(5)^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}\)
Con base en las operaciones realizadas en la lección anterior y estas nuevas formas de representar un número complejo, operamos números complejos.
Adicionemos los complejos \((a+bi)\, y\, (c+di)\) en forma de parejas y representemos gráficamente el complejo obtenido como suma y su modulo.
En forma binomial tenemos:
\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)
En forma de parejas tenemos:
\((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\)
En la figura puede apreciarse que los sumandos y la suma forman un paralelogramo, cuyos lados tienen como longitud los módulos de los sumandos y la longitud de la diagonal es el modulo de la suma.
La suma de los complejos (a, b) y (c, d) es el complejo (a+c, b+d), cuyo modulo corresponde a la longitud de la diagonal del paralelogramo, con lados los módulos de (a, b) y (c, d) y uno de cuyos vértices es el origen.
Adicionemos los complejos \((2-3.5i)\, y\, (-3+i)\) y representamos gráficamente los módulos de los sumandos y de la suma.
Solución:
Realicemos, en forma binomial, la adición de los números complejos dados.
\((2-3.5i)+(-3+i)=(2-.3)+(-3.5+1)i\)
\(=-1-2.5i\)
Veamos ahora la representación grafica de la suma y los sumandos en la figura
En forma análoga podemos multiplicar los números complejos \((a+bi)(c+di)\), utilizando las representaciones estudiadas.
\((a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)
\((a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\)
De acuerdo con esta forma de “multiplicar parejas”, verifiquemos que la pareja (1, 0) es el modulo de esa multiplicación:
\((a,b)(1,0) = (a*1-b*0, a*0+b*1)\) \(=(a,b)\)
\((a,b)(1,0) = (a*1-b*0, a*0+b*1)\)
\(=(a,b)\)
El producto de los complejos (a,b) y (c, d) es el complejo (ac-bd, ad+bc).
Ejemplo: Calculemos le producto \((-3.5,2)(5,7)\)
\((-3.5,2)(5,7)=((-3.5)(5)-(2)(7), (-.35)(7)+(2)(5))\) \(=((-17.5-14),(-24.5+10))=(-31.5, -14.5)\)
\((-3.5,2)(5,7)=((-3.5)(5)-(2)(7), (-.35)(7)+(2)(5))\)
\(=((-17.5-14),(-24.5+10))=(-31.5, -14.5)\)
Al resolver ecuaciones cuadráticas usando la formulan, encontramos que ésta da soluciones reales siempre y cuando el discriminante sea no negativo, de lo contrario no es posible determinar las soluciones reales de la ecuación. Tal es el caso de la ecuación \(x^2-2x+2=0\). Para ella, al aplicar la formula cuadrática, obtenemos que:
\(x=\frac{2\pm\sqrt{-4}}{2}\), es decir, \(x=1\pm\sqrt{-1}\). Como el discriminante es negativo no hay raíces reales. Utilizando \(\sqrt{-1}=i\), las raíces de la ecuación son. \(x_1=1+i\,\, y\,\, x_2=1-i\)
Para comprobar que efectivamente las raíces son soluciones de la ecuación basta remplazar a \(x\) por cada una de ellas en la ecuación original.
Una vez encontradas y confirmadas las raíces, es posible factorizar el trinomio que sirve de expresión a la ecuación:
\(x^2-2x+2=(x-(1+i))(x-(1-i))\)
La ecuación \(x^2-4x+5=0\) tiene dos raíces complejas; una de ellas es \(2+i\) ¿Cuál es la otra?
La formula cuadrática permite calcular las raíces de esta ecuación; las raíces complejas aparecen por pares conjugados, es decir, si \(a+bi\) es raíz de la ecuación, entonces \(a-bi\) también lo es; luego la otra raíz es \(2-i\)
PREGUNTA: Calcular la suma \((2+4i)+(-3+5i)\)