Las propiedades de los radicales nos brindan herramientas para cambiar (reescribir) las expresiones radicales por una variedad de expresiones algebraicas equivalentes, en forma más simple.
Para reescribir una expresión radical en forma más simple, debemos tener en cuenta las siguientes condiciones.
1. Un radicando (o expresión bajo el signo radical) no debe contener elevados a un exponente mayor o igual al índice del radical. 2. La potencia del radicando y el índice de los radicales no deben tener factores comunes diferentes de 1. 3. En el denominador no debe aparecer ningún radical. 4. Bajo el radical no debe aparecer ninguna fracción.
1. Un radicando (o expresión bajo el signo radical) no debe contener elevados a un exponente mayor o igual al índice del radical.
2. La potencia del radicando y el índice de los radicales no deben tener factores comunes diferentes de 1.
3. En el denominador no debe aparecer ningún radical.
4. Bajo el radical no debe aparecer ninguna fracción.
Ejemplo:
¿Podemos simplificar más la expresión \(\sqrt{72}\)?
Para simplificar a \(\sqrt{72}\) debemos expresar a \(72\) como \(6^2*2\), ayudándonos con la descomposición en sus factores primos, y luego aplicar las propiedades de los exponentes y de los radicales. Es decir:
\(\sqrt{72}\) = \(\sqrt{6^2}\) \(\sqrt{2}=6\sqrt2\)
Ejemplo 2:
¿Cómo podemos escribir \(\frac{3x}{\sqrt{3}}\) como una expresión simplificada?
Debemos suprimir el radical del denominador.
Para lograrlo necesitamos multiplicar el numerador y el denominador por \(\sqrt{3}\).
\(\frac{3x}{\sqrt{3}}=\frac{3x}{\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3x*\sqrt{3}}{3}=x\sqrt{3}\) porque \(\sqrt{3}*\sqrt{3}=\sqrt{9}=3\)
\(\frac{3x}{\sqrt{3}}=\frac{3x}{\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3x*\sqrt{3}}{3}=x\sqrt{3}\)
porque \(\sqrt{3}*\sqrt{3}=\sqrt{9}=3\)
Al proceso de suprimir los radicales ya sea del denominador o del numerador se le llama racionalización del denominador o del numerador.
En la racionalización de expresiones con denominadores irracionales se deben tener en cuenta las siguientes situaciones:
Cuando el denominador es un monomio: para racionalizar un denominador monomio, se multiplican tanto el denominador, por un radical del mismo índice que multiplicado por este denominador nos dé un radical exacto.
Racionalizar el denominador de la expresión \(\frac{3}{\sqrt{x}}\)
Solución: Sabemos que \(\sqrt[n]{x^n}=x\) entonces, ¿cuál será la raíz por la que debemos de multiplicar el denominador para eliminarla? Multiplicando el dividiendo (numerador) y el divisor (denominador) por \(\sqrt{x}\) \(\frac{3}{\sqrt{x}}=\frac{3}{\sqrt{x}}*\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\) Efectuando las multiplicaciones indicadas en el numerador y en el denominador. \(=\frac{3\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2}\) \(=\frac{3\sqrt{x}}{x}\)
Solución:
Sabemos que \(\sqrt[n]{x^n}=x\) entonces, ¿cuál será la raíz por la que debemos de multiplicar el denominador para eliminarla?
Multiplicando el dividiendo (numerador) y el divisor (denominador) por \(\sqrt{x}\)
\(\frac{3}{\sqrt{x}}=\frac{3}{\sqrt{x}}*\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
Efectuando las multiplicaciones indicadas en el numerador y en el denominador.
\(=\frac{3\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2}\)
\(=\frac{3\sqrt{x}}{x}\)
Cuando el denominador es un binomio: para racionalizar una expresión cuyo denominador es un binomio, se multiplican tanto el numerador como el denominador por la conjugada del denominador, luego se efectúan las operaciones indicadas y se simplifica el resultado.
Racionalicemos el denominador de \(\frac{5\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+7\sqrt{b}}\)
Solución: \(\frac{5\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\Large\sqrt{a}+7\sqrt{b}}\) \(=\frac{5\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\Large\sqrt{a}+7\sqrt{b}}*\frac{\sqrt{a}-7\sqrt{b}}{\Large\sqrt{a}-7\sqrt{b}}\) \(=\frac{5(\sqrt{a})^2-35\sqrt{ab}-\sqrt{ab}+7(\sqrt{b}^2)}{\Large(\sqrt{a}^2-(7\sqrt{b})^2}\) \(=\frac{5a-36\sqrt{ab}+7b}{\Large a-49b}\) Factor racionalizante: \(FR\) Es otra expresión irracional que multiplicada, por el denominador irracional de una fracción, la convierte en un nuevo denominador racional, libre de radicales. Veamos el esquema: Dados: \(N\)→ Numerador de la fracción. \(D_i\) →Denominador irracional. \(D_r\) → Denominador racional. Por lo expresado: \(\Large F\ =\ \frac{N}{D_i} \times \frac{FR}{FR} \ \longrightarrow F_{eq} \ =\ \frac{N \times FR}{D_r}\)
\(\frac{5\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\Large\sqrt{a}+7\sqrt{b}}\)
\(=\frac{5\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\Large\sqrt{a}+7\sqrt{b}}*\frac{\sqrt{a}-7\sqrt{b}}{\Large\sqrt{a}-7\sqrt{b}}\)
\(=\frac{5(\sqrt{a})^2-35\sqrt{ab}-\sqrt{ab}+7(\sqrt{b}^2)}{\Large(\sqrt{a}^2-(7\sqrt{b})^2}\)
\(=\frac{5a-36\sqrt{ab}+7b}{\Large a-49b}\)
Factor racionalizante: \(FR\)
Es otra expresión irracional que multiplicada, por el denominador irracional de una fracción, la convierte en un nuevo denominador racional, libre de radicales. Veamos el esquema:
Dados: \(N\)→ Numerador de la fracción.
\(D_i\) →Denominador irracional.
\(D_r\) → Denominador racional.
Por lo expresado:
\(\Large F\ =\ \frac{N}{D_i} \times \frac{FR}{FR} \ \longrightarrow F_{eq} \ =\ \frac{N \times FR}{D_r}\)
El vídeo siguiente le ayuda a profundizar el tema antes visto; racionalizar es el conjugado que dicen en el vídeo:
Fuente:https://www.youtube.com/watch?v=KTdBezXCjk0
PREGUNTA: Simplificar \(\sqrt{8x^5}=\)