7 Lección: Potenciación

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POTENCIACIÓN

Sabemos que elevar un número cualquiera a una potencia es multiplicar dicho número por si mismo tantas veces como indique el exponente, es decir:

\(a^n=\underbrace{a\times a\times a\times \cdots a}_{n\, factores}\)

Si \(a=\frac{p}{q}\), tendremos:

\((\frac{p}{q})^n=\underbrace{\frac{p}{q}\times \frac{p}{q}\times \cdots\frac{p}{q}}_{n\, factores}=\frac{p^n}{q^n}\)

Ejemplos:
1.  \(2^8=256\)
Donde el 2 es la base, el número 8 es el exponente, y el número 256 es la potencia.
Lo que quiere decir que el número dos, multiplicado por si mismo ocho veces nos da 256
así.
2 x 2 = 4
4 x 2 = 8
8 x 2 = 16
16 x 2 = 32
32 x 2 = 64
64 x 2 = 128
128 x 2 = 256
2. \(3^4=3\times3\times3\times3=9\times3\times3=27\times3=71\)
3.  \(6^2=6\times6=36\)

Propiedades de la potenciación

Potencia de un producto		 \((5\times2)^2=5^2\times 2^2\) La potencia de un producto es el producto de las potencias de cada uno de los factores.

Multiplicación de potencias con igual base		 \(2^3\times2^4=2^{3+4}=2^7\) El producto de potencias con igual base es una potencia que tiene la misma base de los factores y como exponente la suma de los exponentes de cada factor.
Potencia de una potencia \((3^2)^3=3^{2\times3}=3^6\) La potencia de una potencia tiene la misma base y como exponente el producto de los exponentes de los factores dados.

Modulativa		 \(3^1=3\) 1 como exponente es el módulo de la potenciación.

División de potencias con igual base		 \(\frac{5^4}{5^2}=5^{4-2}\)\(5^2=25\) Para dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes y se conserva la base.

Por definición \(a^0=1\), donde \(a^{1-1}=a^0\) y \(\frac{a^1}{a^1}=1\)

Ejemplos:
Apliquemos algunas propiedades para solucionar los siguientes ejercicios
  1. \(2^3\times2^5\times2^6\). Es una multiplicación de potencias de la misma base, luego:
\(\bf 2^3\times2^5\times2^6=2^{3+5+6}=2^{14}\)
  1. \((4\times2\times3)^2\). Es una potencia de un producto, luego:
\(\bf (4\times2\times3)^2=4^2\times2^2\times3^2\)
  1. \((5^3)^3\). Es una potencia de una potencia, luego:
\(\bf (5^3)^3=5^{3\times3}=5^9\)

NOTA: En la potenciación se debe de considerar los siguiente puntos:

1) Si la base es positiva, el resultado también sera positivo.
2) Si la base es negativa, habrá que tener en cuenta la paridad del exponente, es decir las leyes de signos:
  • Si esté es par, el resultado es positivo
  • Si es impar, el resultado es negativo.

PREGUNTA: Falso o verdadero. \(\frac{3^2}{3^2}=3^0=1\)