POLINOMIOS
Monomio es una expresión algebraica que solamente contiene productos de números reales y de potencias de una o varias variables, cuyos exponentes son números enteros positivos.
Expresiones como \(12xy,\,28x^2,\,z,\,3m,\,25t^2, ax^n=\underbrace{a*x*x*x*\cdots*x}_{n\, veces}\), \(ax^ny^,\, ax^ny^mz^r\), se denominan monomios.
a es el coeficiente y \(x^n,\, x^ny^m,\, ax^ny^mz^r\) la parte literal.
Por ejemplo \(\13x^2y^3\) es un monomio con \(x^2\) y \(y^3\\) como parte literal, y \(13\\) como coeficiente; \(13x^2\\) es un monomio en la variable \(x\), con \(x^2\) como parte literal y \(13\\) como coeficiente; \(13x^{-2}y^3\\) no es un monomio, ya que la variable \(x\\) tiene exponente entero negativo.
Ejemplo:
¿Cuáles expresiones: \((-\frac{2}{7})y^6,\, -5b^2z^9,\,\sqrt{3x^3},\, 7y^{\frac{1}{2}},\, 14z^{-4},\, 19w^4\), son monomios?
Sólo \((-\frac{2}{7})y^6,\, -5b^2z^9,\,\sqrt{3x^3},\, 19w^4\) son monomios,; las demás no lo son, porque el exponente de la parte literal de \(7y\frac{1}{2}\) no es un número natural, lo mismo que ocurre con \(14z^{-4}\) ya que la variable \(z\\) tiene exponente entero negativo.
Cada monomio es un término y los monomios como \(4x^6,\, -7x^6\, y 13x^6\\) que tienen la misma parte literal, se llaman términos semejantes.
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
En la expresión \(3x^5+\frac{2}{7}x^5-\frac{9}{14}x^5\) se ha indicado una suma algebraica de términos semejantes, la cual puede simplificarse usando la propiedad distributiva, así:
\(3x^5+\frac{2}{7}x^5-\frac{9}{14}x^5=(3+\frac{2}{7}-\frac{9}{14})x^5=(\frac{42}{14}+\frac{4}{14}-\frac{9}{14})x^5=\frac{37}{14}x^5\)
De este modo la expresión se ha reducido a un solo monomio.
Para adicionar términos semejantes se adicionan algebraicamente sus coeficientes y el resultado se multiplica por la parte literal. Este proceso se denomina reducción de términos semejantes.
Grado de un monomio
Los monomios \(4t^2\, y\,\frac{1}{2}t^8\\) no son semejantes a pesar de tener la misma variable.
Se diferencian no sólo por el coeficiente, sino por el exponente de la variable. En el primer caso el exponente es \(5\), en el segundo el exponente es \(8\); por esta razón se dice que el grado del primer monomio es \(5\) y del segundo es \(8\).
Cuando un monomio tiene varias variables, su grado corresponde a la suma de los exponentes de las variables que lo forman. Así, \(-\frac{3}{8}x^4y^3\) es un monomio de grado \(7\\).
Se llama grado de un monomio al exponente de la variable si el monomio tiene una sola variable, o la suma de los exponentes de las variables cuando el monomio cuenta con varias variables. El coeficiente del monomio debe ser distinto de cero.
Polinomio en una variable
Las expresiones \(4x^3+3x-9x^4\) y \(\frac{3}{8}y^6-2y+7y^5-2\) indican una suma de monomios con la misma variable.
Una suma algebraica de varios monomios se denomina polinomio. Cada monomio constituye un término del polinomio.
\(4x^3+3x-9x^4\) es un polinomio en la variable \(x\) de tres términos y \(\frac{3}{8}y^6-2y+7y^5-2\) es un polinomio en la variable y que tiene cuatro términos. Además el término que no contiene y, en este caso \(-2\), decimos que es de grado cero y se llama término independiente o constante.
Cuando los monomios que forma el polinomio tienen más de una variable como \(4xt-\frac{1}{2}x^3t^2+6x^2t^4\), se tiene un polinomio en las variables x y t.
Cuando un polinomio contiene sólo dos términos se llama binomio. Si contiene tres términos es un trinomio.
Los polinomios \(8x^3-3x\) y \(-7w^3z^2+\frac{4}{9}\) son binomios; \(-\frac{1}{2}y^4+2y^3-15\) y \(4h^5d^3-\frac{3}{5}h^4d^2+h^3d\) son trinomios.
En general un polinomio en una variable es una expresión de la forma \(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots +a_nx^n\), con \(n\in N\). Si \(a_n\neq 0\), se dice que el grado del polinomio es \(n\).
\(3xy^2-7x^3y^3+2x^4y^5\) es un polinomio en las variables \(x\) y \(y\). El grado del polinomio es \(9\).
Cuando los términos de un polinomio se escriben de modo que sus grados vayan creciendo o decreciendo, se dice que el polinomio está ordenado. Por ejemplo \(\frac{1}{8}x-\frac{5}{3}x^2-\frac{9}{4}x^6\) está ordenado respecto a las potencias creciente de \(x\); \(-12y^7+5y^3-9y^2+y-2\) está ordenado respecto a las potencias decrecientes de \(y\).
El polinomio \(4-2z+\frac{3}{4}z^2-8z^3-\frac{7}{5}z^4+7z^5\) es un polinomio ordenado, en donde aparece un término de cada grado desde cero hasta cinco. Por esto se llama polinomio completo de grado 5. Si al polinomio le falta alguno de sus términos, se le llama polinomio incompleto.
\(\frac{1}{3}x^6+2x^3-x^2+6\) es un polinomio incompleto de sexto grado.
PREGUNTA: ¿Cuál es el grado del polinomio \(-2x^4+7x^6-3x^7\)