Una proposición es una frase o enunciado de la que puede afirmarse que es verdadera o es falsa.
Ejemplo:
Expresiones como: "el sol calienta la Tierra" o "25 es un múltiplo de 4". ¿Son proposiciones?
Sí son proposiciones, ya que podemos asegurar, de la primera, que es verdadera y de la segunda, que es falsa.
Asegurar que una proposición es verdadera o falsa es asignarle el valor de verdad.
Proposiciones como las del ejemplo anterior, que constan de una sola afirmación, reciben el nombre de proposiciones simples.
Toda proposición puede negarse. Las anteriores proposiciones pueden negarse de la siguiente forma:
"El Sol no calienta la Tierra" o "No es cierto que el Sol calienta la Tierra".
"25 no es múltiplo de 4" o "Es falso que 25 es múltiplo de 4".
Si una proposición es verdadera, su negación es falsa y viceversa.
Se acostumbra notar las proposiciones por medio de letras \(p,\, q,\, r,\cdots\) y las negaciones como: \(\sim p,\,\sim q,\,\sim r,\cdots\)
Ejemplo: Cuál es la negación de la proposición:
\(p\): El oxígeno es un gas de la atmósfera. Solución: \(\sim p\): El oxígeno no es un gas de la atmósfera Otras formas de negar la proposición son: \(\sim p\): No es cierto que el oxígeno es un gas de la atmósfera \(\sim p\): Es falso que el oxígeno es un gas de la atmósfera
\(p\): El oxígeno es un gas de la atmósfera.
Solución:
\(\sim p\): El oxígeno no es un gas de la atmósfera
Otras formas de negar la proposición son:
\(\sim p\): No es cierto que el oxígeno es un gas de la atmósfera
\(\sim p\): Es falso que el oxígeno es un gas de la atmósfera
Al realizar la negación de una proposición hay que tener cuidadom, pues ésta no se debe alterar. Por ejemplo, en la proposición "La Luna es un satélite" es incorrrecto negarla diciendo "La Luna es un planeta", aunque los valores de verdad sean contrarios.
Las proposiciones nos ayudan a describir conjuntos y a identificar claramente los elementos que los forman.
En general, si \(t\) es un elemento de \(\bf K\), es decir, si \(\bf t\)pertenece a \(\bf K\), se escribe \(\bf t\in K\). Si \(m\) no es un elemento de \(\bf K\), es decir, si \(\bf m\) no pertenece a \(\bf K\), se escribe \(\bf m\neq K\).
Los conjuntos se representan con letras mayúsculas \(A,\, B,\, C,\cdots\) y los elementos con letras minúsculas. Los elementos van entre corchetes separados entre sí por una coma.
Consideremos los conjuntos \(V\) y \(T\) dados a continuación.
V = {a, i, u, e , o} ; T = {números naturales múltiplos de 5, menores que 30}
El conjunto \(V\) nombra uno por uno todos sus elementos y el conjunto \(T\) describe sus elementos por medio de una proposición que expresa una característica que los identifica.
Un conjunto está determinado por extensión cuando se nombran todos sus elementos, y está determinado por comprensión cuando se ha dado la característica o propiedad común a todos los elementos.
Los elementos de un conjunto se representan, a menudo, anotándolos dentro de un contorno cualquiera: un óvalo, una circuenferencia u otra figura cerrada. Este tipo de representaciones se denomina diagrama de Venn.
Cuando un elemento está por fuera del contorno que representa al conjunto, es porque no pertenece a él, sino al conjunto referencial o universal del cual se están tomando los elementos para formar el conjunto.
Observemos el diagrama de la figua y denominemos cuál es el conjunto referencial para formar el conjunto B.
En el conjunto B se encuentran los números impares menores que 10 y por fuera del contorno B se hallan los números pares menores que 10. Por tanto, el conjunto referencial para nuestro ejemplo, es el de los números naturales menores que 10.
Otra forma de representar los conjuntos numéricos es colocando los elementos sobre una recta de puntos, igualmente espaciados. Esta representación se llama diagrama lineal.
Representemos en un diagrama lineal el conjunto:
H = {-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2}
Cuando un conjunto tiene sólo un elemento, se denomina conjunto unitario.
Ejemplo: C = {capital de Colombia} = {Bogotá}.
El conjunto que no tiene elementos, se denomina conjunto vacío. Se representa con el símbolo \(\phi\).
A = {múltiplos de 5 que terminan en 4} = \(\phi\)
Cuando dos conjuntos L y M poseen los mismo elementos, se llaman conjuntos iguales.
Si \(L=\{ x\in N|\, x\, es\, un\, n\acute{u}mero\, par\}\,\, y\,\, M=\{b\in N|\, b\, es\, m\acute{u}ltiplo\, de\, 2\}\), entonces \(L=M\).
PREGUNTA: ¿Cuándo un conjunto está determinado por extensión?