La multiplicación de factores racionales iguales se expresa como una potencia.
Expresemos como potencia el producto \(\frac{3}{5}*\frac{3}{5}*\frac{3}{5}*\frac{3}{5}=(\frac{3}{5})^4=\frac{81}{625}\)
\((\frac{3}{5})4=\frac{81}{625}\); \(\frac{3}{5}\) que es el racional que se repite como factor es la base, 4 es ele xponente e indica las veces que se repite la base como factor.
\((\frac{3}{5})^4\textrm{y}\frac{81}{625}\) son formas de expresar la potencia.
Cuando el exponente es impar y la base negativa, la potencia es negativa. La potenciación cumple las siguientes propiedades:
Propiedades de la Potenciación
\((\frac{2}{3})^4=\frac{2}{3}*\frac{2}{3}*\frac{2}{3}*\frac{2}{3}=\frac{2^4}{3^4}=\frac{16}{81}\)
Hallar la potencia de un racional, equivale a encontrar la potencia de cada uno de sus términos (numerador y denominador).
\((\frac{2}{7})^3*(\frac{2}{7})^2=(\frac{2}{7})^5=\frac{2^5}{7^5}=\frac{32}{16807}\)
El producto de potencias de racionales de igual base tiene la misma base de las potencias factores, y su exponente corresponde a la suma de los exponentes de las potencias factores.
\([(\frac{4}{5})^3]^2=(\frac{4}{5})^6=\frac{4^6}{5^6}\)
La potencia de la potencia de un racional tiene como base el racional dado y como exponente el producto de los exponentes.
\((\frac{3}{4})^{-1}=\frac{4}{3}\)
Si el racional \((\frac{a}{b})\) es diferente de cero, su recíproco se denota como \((\frac{a}{b})^{-1}=\frac{b}{a}\)
\((\frac{5}{3})^{-2}=(\frac{3}{5})^2=\frac{9}{25}\)
Todo racional distinto de cero que tenga exponente negativo, es equivalente a tomar el recíproco del número y el mismo exponente con signo contrario.
\((\frac{2}{13})^0=1\)
Cualquier racional, diferente de cero, con exponente cero, es igual a 1.
\((\frac{a}{b})*(\frac{a}{b})^{-1}= (\frac{a}{b})^{1-1}=(\frac{a}{b})^0=1\)
El producto de un racional distinto de cero, y su recíproco es 1.
Raíces enésimas de números racionales
La raíz enésima del racional \(\frac{a}{b}\) es el racional \(\frac{c}{d}\) tal que \((\frac{c}{d})^n=\frac{a}{b}\).
Hallemos \(\sqrt[2]{\frac{100}{81}}\):
\(\sqrt[2]{\frac{100}{81}}=\frac{10}{9}\,\,\,\textrm{porque}\,\,\,(\frac{10}{9})^2=\frac{100}{81}\)
Hallemos \(\sqrt[5]{-\frac{1}{32}}\)
\(\sqrt[5]{-\frac{1}{32}}=-\frac{1}{2}\,\,\textrm{porque}\,\,\,(-\frac{1}{2})^5=-\frac{1}{32}\)
Los términos de la radicación son:
NOTA:
Propiedad de la radicación:
1) Hallar la raíz enésima de un racional equivale a hallar la raíz enésima de cada uno de sus términos (numerador y denominador).
Ejemplo:
Hallemos \(\sqrt[2]{\frac{25}{4}}\)
\(\sqrt[2]{\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt[2]{25}}{\sqrt[2]{4}}=\frac{5}{2}\)
PREGUNTA: ¿La raíz de \(\sqrt[2]{\frac{13}{36}}\) es?