En el curso de Sara 4 de cada 9 niños toman jugo de naranja al desayuno. Si hay 36 alumnos, ¿Cuántos toman jugo de naranja?
Para saber el total de niños que toma jugo de naranja, buscamos una fracción equivalente a \(\frac{4}{9}\):
\(\frac{4}{9}=\frac{?}{36}\)
\(\frac{4}{9}=\frac{4*4}{9*4}=\frac{16}{36}\)
Decir que 4 de cada 9 niños toman jugo equivale a decir que de 36 alumnos que hay en el curso, 16 toman jugo de naranja al desayuno.
En ocasiones como estas, para solucionar situaciones con números fraccionarios, necesitamos encontrar fracciones equivalentes.
Dos fracciones \(\frac{a}{b}\) y \(\frac{c}{d}\) son equivalentes si a*d = c*b.
Para obtener fracciones equivalentes hacemos uso de los procesos de amplificación y simplificación.
Ejemplo:
Amplifiquemos por 4 la fracción \(\frac{2}{5}\)
\(\frac{2}{5}=\frac{2*4}{5*4}=\frac{8}{20}\)\(\frac{2}{5}=\frac{8}{20}\)
\(\frac{2}{5}=\frac{2*4}{5*4}=\frac{8}{20}\)
\(\frac{2}{5}=\frac{8}{20}\)
Las fracciones \(\frac{2}{5}\) y \(\frac{8}{20}\) son equivalentes.
El proceso de amplificar o complificar una fracción consiste en multiplicar tanto el númerador como el denominador por un mismo número natural distinto de cero.
Simplifiquenos la fracción \(\frac{27}{54}\) hasta donde sea posible.
\(\frac{27}{54}=\frac{27\div 3}{54\div 3}=\frac{9}{18}\)
La fracción \(\frac{9}{18}\) puede seguir simplicándose. Veamos:
\(\frac{9}{18}=\frac{9\div 9}{18\div 9}=\frac{1}{2}\)
La fracción \(\frac{1}{2}\) es una fracción irreducible y es equivalente a \(\frac{27}{54}\), es decir: \(\frac{1}{2}=\frac{27}{54}\).
El proceso de simplificar una fracción consiste en dividir el númerador y el denominador por un divisor común a ambos.
Cuando una fracción no puede simplificarse, la llamamos fracción irreductible.
Podemos agrupar las fracciones equivalentes a una fracción dada, en un conjunto. Por ejemplo, las fracciones equivalentes a \(\frac{7}{8}\) son:
\({...,\frac{-14}{-16}, \frac{-7}{-8}, \frac{7}{8}, \frac{14}{16}, \frac{21}{24}, \frac{28}{32},...}\). El conjunto formado por una fracción y todos sus equivalentes es una clase. Cada clase recibe el nombre de número racional.
Se acostumbra tomar como representante de cada clase la fracción irreductible, por ejemplo, el conjunto \({...,\frac{-14}{-16}, \frac{-7}{-8}, \frac{7}{8}, \frac{14}{16}, \frac{21}{24}, \frac{28}{32},...}\) = \(\frac{7}{8}\)
Al conjunto de todas las clases de fracciones equivalentes lo llamaremos conjunto de los números racionales, el cual se denota \(\mathbb {Q}\).
Al igual que los enteros , los números racionales se pueden clasificar en dos grandes conjuntos, teniendo en cuenta un punto de referencia.
Si se asigna el número cero al punto de referencia, tendríamos que los racionales positivos a la derecha de 0 y los racionales negativos a la izquierda de él.
Orden en los racionales
¿Cómo hacemos para saber cuándo un racionale es menor que otro? Por ejemplo, si tenemos los racionales \(-\frac{2}{3}\) y \(-\frac{4}{5}\), podemos saber cuál de los dos es menor, amplificando cada uno para obtener fracciones equivalentes con denominador común.
\(-\frac{2}{3}=\frac{-2*5}{3*5}=-\frac{10}{15}\) ; \(-\frac{4}{5}=\frac{(-4*3)}{(5*3)}=-\frac{12}{15}\)
Comparamos luego los númeradores. Como -12 < -10, entonces \(\frac{-12}{15}<\frac{-10}{15}\). Por consiguiente, \(\frac{-4}{5}<-\frac{2}{3}\)
Para ordenar números racionales se buscan racionales equivalentes a los dados, que tengan el mismo denominador; luego, se ordenan teniendo en cuenta el orden de los numeradores.
PREGUNTA: ¿ La fracción \(\frac{9}{16}\) es mayor que \(\frac{7}{20}\)?