DETERMINACIÓN
Podemos redefinir las razones trigonométricas de puntos \((x,\, y)\) de una circunferencia de centro \((0,\, 0)\), para triángulos rectángulos, considerando que le radio corresponde a la hipotenusa.
En el triangulo ABC, rectángulo en B y con un ángulo \(\theta\) que tiene como vértice a A sobre el origen, se definen las siguientes razones:
\(sen\,\theta=\frac{cateto\, opuesto}{hipotenusa}=\frac{a}{b}\,\,\,\, csc\,\theta=\frac{hipotenusa}{cateto\, opuesto}=\frac{b}{a}\)
\(cos\,\theta=\frac{cateto\, adyacente}{hipotenusa}=\frac{c}{b}\,\,\,\, sec\,\theta=\frac{hipotenusa}{cateto\, adyacente}=\frac{b}{c}\)
\(tan\,\theta=\frac{cateto\, opuesto}{ cateto\, adyacente }=\frac{a}{c}\,\,\,\, ctg\,\theta=\frac{ cateto\, adyacente }{cateto\, opuesto}=\frac{c}{a}\)
Si llamamos ca al cateto adyacente, co al cateto opuesto y hi a las hipotenusa podemos resumir así:
\(sen\,\theta\)
\(cos\,\theta\)
\(tan\,\theta\)
\(ctg\,\theta\)
\(sec\,\theta\)
\(csc\,\theta\)
\(\frac{co}{hi}\)
\(\frac{ca}{hi}\)
\(\frac{co}{ca}\)
\(\frac{ca}{co}\)
\(\frac{hi}{ca}\)
\(\frac{hi}{co}\)
Ejemplo:
Hallar las cinco razones trigonométricas que faltan sabiendo que \(\theta\) es un ángulo del primer cuadrantes y \(cos\,\theta=\frac{5}{7}\).
Solución: Sabemos que \(cos\,\theta=\frac{x}{r}=\frac{5}{7}\). Por lo tanto \(x=5\,\, y\,\, r=7\) Ahora, consideremos el triángulo rectángulo OAP: Por el teorema de pitágoras: \(7^2=y^2+5^2\) \(y=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) Así podemos encontrar las razones trigonométricas restantes: Luego: \(sen\,\theta=\frac{2\sqrt{6}}{7};\,\,\,\, tan\,\theta=\frac{2\sqrt{6}}{5};\,\,\,\, ctg\,\theta=\frac{5}{2\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{6}}{12}\) \(sec\,\theta=\frac{7}{5};\,\, y\,\, csc\,\theta=\frac{7}{2\sqrt{6}}=\frac{7\sqrt{6}}{12}\)
Solución:
Sabemos que \(cos\,\theta=\frac{x}{r}=\frac{5}{7}\). Por lo tanto \(x=5\,\, y\,\, r=7\)
Ahora, consideremos el triángulo rectángulo OAP:
Por el teorema de pitágoras:
\(7^2=y^2+5^2\) \(y=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\)
\(7^2=y^2+5^2\)
\(y=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\)
Así podemos encontrar las razones trigonométricas restantes:
Luego:
\(sen\,\theta=\frac{2\sqrt{6}}{7};\,\,\,\, tan\,\theta=\frac{2\sqrt{6}}{5};\,\,\,\, ctg\,\theta=\frac{5}{2\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{6}}{12}\)
\(sec\,\theta=\frac{7}{5};\,\, y\,\, csc\,\theta=\frac{7}{2\sqrt{6}}=\frac{7\sqrt{6}}{12}\)
PREGUNTA: Si definiésemos la función \(f(x)=\frac{sec(\theta)}{cos(\theta)}\) esta correspondería a la siguiente razón: