La ecuación general de una elipse es:
\(Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0\)
para A,B,C,D,E en \(\mathbb{R}\).
Si desarrollamos la ecuación canónica de ka elipse con centro en el punto (h,k) y con eje mayor paralelo al eje x obtenemos:
\(b^2(x-h)^2+ a^2(y-k)^2= a^2b^2\), es decir,
\(b^2x^2-2b^2xh+b^2h^2+ a^2y^2- 2a^2yk+a^2k^2-a^2b^2=0\)
sustituimos
\(b^2=A,a^2=B,-2b^2h=C,-2a^2k=D,a^2k^2- a^2b^2 +b^2h^2=E\), constantes reales y obtenemos la ecuación de la elipse.
En el caso de la elipse la ecuación general tiene la misma forma para las elipses con ejes mayores paralelos a los ejes x o y, puesto que los coeficientes A y B de \(x^2\) y \(y^2\) siempre son diferentes. De lo contrario estaríamos hablando de una circunferencia.
Ejemplo:
Hallar las coordenadas del centro y de los focos de la elipse cuya ecuación general es \(9x^2+4y^2-54x-40y+145=0\)
Solución:
Expresamos la ecuación general en forma canónica organizando los trinomios y completando para factorizar:
\(9(x^2-6x+\,\,)+4(y^2-10y+\,\,)=-145\)
\(9(x^2-6x+9)+4(y^2-10y+25)=-145+81+100\)
Dividimos entre 36: \(9(x-3)^2+4(y-5)^2=36\)
\(\frac{(x-3)^2}{4}+\frac{(y-5)^2}{9}=1\)
Luego: las coordenadas del centro son (3,5)
Como \(c^2=a^2-b^2\,\, entonces\,\, c^2=5,\, c=\pm\sqrt{5}\)
Luego: las coordenadas de los focos son:
\(F_1: (3,5+\sqrt{5})\, y\, F_2: ( 3,5-\sqrt{5}\)
Ejemplo 2:
Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices mayores son (5,3) y (17,3) y las coordenadas de un foco son (8,3).
Para hallar el centro calculamos el punto medio del segmento que une los vértices del eje mayor
\(\bar{X}=\frac{5+17}{2}=\frac{22}{2}=11\,\,\,\bar{Y}=\frac{3+3}{2}=3\)
Así el centro de la elipse es el punto (11,3).
Como el foco esta a 3 unidades del centro, es decir, c=3 y la distancia del centro a los vértices es de 6 unidades, es decir, a=6. Entonces \(b^2=\pm 27\)
Luego: La ecuación de la elipse es: \(\frac{(x-11)^2}{36}+\frac{(y-3)^2}{27}=1\)
PREGUNTA: De la ecuación reducida de la elipse \(\frac{(x-11)^2}{36}+\frac{(y-3)^2}{27}=1\), la ecuación general es: