RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas \(L_1\) y \(L_2\) son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es \(-1\).
Si \(L_1:y=m_1x+b_1\)
y \(L_2:y=m_2x+b_2\) entonces:
\(L_1 \perp L_2 \leftrightarrow m_1m_2=-1\)
luego \(m_2=\frac{-1}{m_1}\)
Ejemplo práctico:
Sea la ecuación de la recta \(2x+y+3=0\). Determine la ecuación de la recta perpendicular que a ésta y que pasa por el punto (2,3).
1. Despejamos la variable \(y\)
\(2x+y+3=0\)
\(y=-2x-3\)
2. Determinamos la pendiente de la recta perpendicular a \(y=-2x-3\)
\(m_1=-2\)
\(m_2=\frac{-1}{m_1}\)
\(m_2=\frac{-1}{-2}\)
\(m_2=\frac{1}{2}\)
3. Conocemos el valor de la pendiente \(m_2=\frac{1}{2}\) y un punto que pertenece a la recta (2,3). Utilizamos la ecuación punto-pendiente:
\(y-y_1=m(x-x_1)\)
\(y-3=\frac{1}{2}(x-2)\)
\(y-3=\frac{1}{2}x-\frac{2}{2}\)
\(y=\frac{1}{2}x-1+3\)
\(y=\frac{1}{2}x+2\)
\(y=\frac{1}{2}x+2\) Esta es la ecuación de la recta perpendicular a \(2x+y+3=0\) y que pasa por el punto (2,3)
RECTAS SECANTES
Dos rectas son secantes en un plano si y sólo si se interceptan en un punto.
Verificar que las rectas \(L_1:y=2x+3y-18=0\) y \(L_2:5x+y-19=0\); son secantes.
Solución
1. Expresamos las rectas en la forma canónica, despejando la variable \(y\)
2. Elaboramos una tabla de valores para cada recta que servirá para graficarlas en el plano cartesiano:
\(L_1:y =-\frac{2}{3}x+6\)
\(L_2:y =-5x+19\)
x
y
-3
8
34
-2
7,333333
29
-1
6,666667
24
0
6
19
1
5,333333
14
2
4,666667
9
3
4
3,333333
3. Realizamos la gráfica:
4. Observamos cuál es el punto de corte de las dos rectas
Las rectas se cortan en el punto P: (3,4). Para verificarlo reemplazamos el punto (3,4) en \(L_1\) y \(L_2\) así:
\(L_1:2x+3y-18=0\)
\(L_2:5x+y-19=0\)
\(2(3)+4(12)-18=0\)
\(5(3)+4-19=0\)
\(18-18=0\)
\(19-19=0\)
Luego; P: (3,4) satisface ambas ecuaciones por ser el punto de intersección.
PREGUNTA: Son las rectas \(L_1: 2x+5y-15=0\) y \(L_2:10x-4y+20=0\) perpendiculares?