RESTRICCIÓN DE DOMINIO Y RANGO
RESTRINGIR UN CONJUNTO: Es hacer más pequeño un conjunto de números para cumplir algunas reglas de cálculo.
Recordemos: Los números reales son todos aquellos que tienen representación en la recta numérica.
CASOS EN DONDE SE PRESENTAN VALORES QUE NO PERTENECEN A LOS NÚMEROS REALES:
1. Cuando un número real está dividido por 0:
\(\frac{n}{0}\) Donde \(n\) es cualquier número \(\R\), no existe un valor definido en la recta numérica.
Ejemplos: * \(\frac{5}{0}\) * \(\frac{\pi}{0}\) * \(\frac{5999}{0}\) * \(\frac{35}{0}\) * \(\frac{0}{0}\)
Ejemplos:
* \(\frac{5}{0}\) * \(\frac{\pi}{0}\) * \(\frac{5999}{0}\) * \(\frac{35}{0}\) * \(\frac{0}{0}\)
* \(\frac{5}{0}\)
* \(\frac{\pi}{0}\)
* \(\frac{5999}{0}\)
* \(\frac{35}{0}\)
* \(\frac{0}{0}\)
2. Cuando se tiene la raíz cuadrada de un número negativo:
\(\sqrt{-h}\) Donde h es cualquier número, es un número imaginario por tanto no existe un valor definido en la recta numérica.
Ejemplos: * \(\sqrt{-5}\) * \(\sqrt{-\pi}\) * \(\sqrt{-56}\) * \(\sqrt{-1}\)
* \(\sqrt{-5}\) * \(\sqrt{-\pi}\) * \(\sqrt{-56}\) * \(\sqrt{-1}\)
* \(\sqrt{-5}\)
* \(\sqrt{-\pi}\)
* \(\sqrt{-56}\)
* \(\sqrt{-1}\)
Ahora con estas dos indicaciones iniciaremos el procedimiento para determinar restricciones.
Restricción de dominio
1. Despejar la variable \(y\) de la ecuación original.
2. Determinar los valores del conjunto de número reales (\(\R\)) que puede tomar \(x\) para los cuales está definida la función.
Ejemplos: 1. Sea la función o ecuación \(2x^2+y=6\). determinar la restricción de dominio. \(2x^2+y=6\) (ecuación dada) \(y=6-2x^2\) (despejando \(y\)) Como la variable \(x\) no se encuentra dentro de un radical (raíz cuadrada) ni tampoco se encuentra en el denominador, no vamos a tener el problema de que nos resulte un número que no pertenezca a los números reales. Esto significa que \(x\) puede tomar cualquier valor entre \(-\infty\) y \(\infty\) y denotamos la restricción: {\(x\) \(\in\) \(\R\) / \(-\infty<{x}<\infty\)} Y leemos \(x\) pertenece a los números reales tal que \(x\) mayor que menos infinito pero menor a infinito. En forma de intervalo seria (\(-\infty ,\infty\)) 2. Sea la ecuación \(xy+y=3x+1\). Hallar el dominio de la función. \(xy+y=3x+1\) (ecuación dada) \(y(x+1)=3x+1\) (factorizando \(y\)) \(y=\frac{3x+1}{x+1}\) (pasando a dividir \(x+1\)) En este ejemplo \(x+1\) esta en el denominador luego debemos realizar el siguiente procedimiento para saber cuales numeros tienen problemas, es decir, ¿cuando el denominador es \(0\)?. \(x+1=0\) (¿cuando el denominador es \(0\)? ) \(x=0-1\) (pasando a restar el 1) \(x=-1\) (realizando operaciones) Luego vemos que cuando \(x=-1\) el denominado nos da cero por tanto el dominio son todo los reales (\(\R\)) menos el número -1. La restricción sería: \(x\in\R-\{-1\}\) En forma de intervalo sería: (\(-\infty , -1\))\(\cup\)(\(-1,\infty\)) 3. Hallar el dominio de la función \(y=\frac{x^2+x+1}{3x-5}\) En este caso no es necesario despejar \(y\) por que ya lo está. solo nos resta por hacer es mirar en donde el denominador de hace \(0\), es decir, \(3x-5=0\) (¿donde el denominador es cero?) \(3x=0+5\) (pasando a sumar el número \(5\)) \(3x=5\) (realizando operación) \(x=\frac{5}{3}\) (pasando el \(3\) a dividir) Luego el dominio de la función son todos los reales (\(\R\)) menos el número \(\frac{5}{3}\). \(x\in\R-\{\frac{5}{3}\}\) En forma de intervalo: \((-\infty,\frac{5}{3})\cup(\frac{5}{3},\infty)\) 4. Hallar el dominio de la función \(yx^2-y=1\). \(yx^2-y=1\) (ecuación dada) \(y(x^2-1)=1\) (factorizando \(y\)) \(y=\frac{1}{x^2-1}\) (pasando a dividir \(x^2-1\)) Ahora tenemos que ver donde el denominador se hace cero, es decir, \(x^2-1=0\) (¿Donde se hace el denominador cero?) \(x^2=0+1\) (pasando el \(1\) a sumar) \(x^2=1\) (realizando operaciones) \(\sqrt{x^2}=\sqrt{1}\) (sacando raices en ambos lados) \(x=\pm1\) (es \(\pm\) por que sacamos raiz cuadrada) Por tanto hay dos número en donde el denominador se hace cero, {1,-1}, luego el dominio de la función son todos los reales (\(\R\)) menos los números 1 y -1. \(x\in\R-\{1,-1\}\) En forma de intervalo: \((-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)\)
1. Sea la función o ecuación \(2x^2+y=6\). determinar la restricción de dominio.
\(2x^2+y=6\) (ecuación dada) \(y=6-2x^2\) (despejando \(y\)) Como la variable \(x\) no se encuentra dentro de un radical (raíz cuadrada) ni tampoco se encuentra en el denominador, no vamos a tener el problema de que nos resulte un número que no pertenezca a los números reales. Esto significa que \(x\) puede tomar cualquier valor entre \(-\infty\) y \(\infty\) y denotamos la restricción: {\(x\) \(\in\) \(\R\) / \(-\infty<{x}<\infty\)} Y leemos \(x\) pertenece a los números reales tal que \(x\) mayor que menos infinito pero menor a infinito. En forma de intervalo seria (\(-\infty ,\infty\))
\(2x^2+y=6\) (ecuación dada)
\(y=6-2x^2\) (despejando \(y\))
Como la variable \(x\) no se encuentra dentro de un radical (raíz cuadrada) ni tampoco se encuentra en el denominador, no vamos a tener el problema de que nos resulte un número que no pertenezca a los números reales.
Esto significa que \(x\) puede tomar cualquier valor entre \(-\infty\) y \(\infty\)
y denotamos la restricción:
{\(x\) \(\in\) \(\R\) / \(-\infty<{x}<\infty\)}
Y leemos \(x\) pertenece a los números reales tal que \(x\) mayor que menos infinito pero menor a infinito.
En forma de intervalo seria (\(-\infty ,\infty\))
2. Sea la ecuación \(xy+y=3x+1\). Hallar el dominio de la función.
\(xy+y=3x+1\) (ecuación dada) \(y(x+1)=3x+1\) (factorizando \(y\)) \(y=\frac{3x+1}{x+1}\) (pasando a dividir \(x+1\)) En este ejemplo \(x+1\) esta en el denominador luego debemos realizar el siguiente procedimiento para saber cuales numeros tienen problemas, es decir, ¿cuando el denominador es \(0\)?. \(x+1=0\) (¿cuando el denominador es \(0\)? ) \(x=0-1\) (pasando a restar el 1) \(x=-1\) (realizando operaciones) Luego vemos que cuando \(x=-1\) el denominado nos da cero por tanto el dominio son todo los reales (\(\R\)) menos el número -1. La restricción sería: \(x\in\R-\{-1\}\) En forma de intervalo sería: (\(-\infty , -1\))\(\cup\)(\(-1,\infty\))
\(xy+y=3x+1\) (ecuación dada)
\(y(x+1)=3x+1\) (factorizando \(y\))
\(y=\frac{3x+1}{x+1}\) (pasando a dividir \(x+1\))
En este ejemplo \(x+1\) esta en el denominador luego debemos realizar el siguiente procedimiento para saber cuales numeros tienen problemas, es decir, ¿cuando el denominador es \(0\)?.
\(x+1=0\) (¿cuando el denominador es \(0\)? )
\(x=0-1\) (pasando a restar el 1)
\(x=-1\) (realizando operaciones)
Luego vemos que cuando \(x=-1\) el denominado nos da cero por tanto el dominio son todo los reales (\(\R\)) menos el número -1.
La restricción sería:
\(x\in\R-\{-1\}\)
En forma de intervalo sería:
(\(-\infty , -1\))\(\cup\)(\(-1,\infty\))
3. Hallar el dominio de la función \(y=\frac{x^2+x+1}{3x-5}\)
En este caso no es necesario despejar \(y\) por que ya lo está. solo nos resta por hacer es mirar en donde el denominador de hace \(0\), es decir, \(3x-5=0\) (¿donde el denominador es cero?) \(3x=0+5\) (pasando a sumar el número \(5\)) \(3x=5\) (realizando operación) \(x=\frac{5}{3}\) (pasando el \(3\) a dividir) Luego el dominio de la función son todos los reales (\(\R\)) menos el número \(\frac{5}{3}\). \(x\in\R-\{\frac{5}{3}\}\) En forma de intervalo: \((-\infty,\frac{5}{3})\cup(\frac{5}{3},\infty)\)
En este caso no es necesario despejar \(y\) por que ya lo está. solo nos resta por hacer es mirar en donde el denominador de hace \(0\), es decir,
\(3x-5=0\) (¿donde el denominador es cero?)
\(3x=0+5\) (pasando a sumar el número \(5\))
\(3x=5\) (realizando operación)
\(x=\frac{5}{3}\) (pasando el \(3\) a dividir)
Luego el dominio de la función son todos los reales (\(\R\)) menos el número \(\frac{5}{3}\).
\(x\in\R-\{\frac{5}{3}\}\)
En forma de intervalo:
\((-\infty,\frac{5}{3})\cup(\frac{5}{3},\infty)\)
4. Hallar el dominio de la función \(yx^2-y=1\).
\(yx^2-y=1\) (ecuación dada) \(y(x^2-1)=1\) (factorizando \(y\)) \(y=\frac{1}{x^2-1}\) (pasando a dividir \(x^2-1\)) Ahora tenemos que ver donde el denominador se hace cero, es decir, \(x^2-1=0\) (¿Donde se hace el denominador cero?) \(x^2=0+1\) (pasando el \(1\) a sumar) \(x^2=1\) (realizando operaciones) \(\sqrt{x^2}=\sqrt{1}\) (sacando raices en ambos lados) \(x=\pm1\) (es \(\pm\) por que sacamos raiz cuadrada) Por tanto hay dos número en donde el denominador se hace cero, {1,-1}, luego el dominio de la función son todos los reales (\(\R\)) menos los números 1 y -1. \(x\in\R-\{1,-1\}\) En forma de intervalo: \((-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)\)
\(yx^2-y=1\) (ecuación dada)
\(y(x^2-1)=1\) (factorizando \(y\))
\(y=\frac{1}{x^2-1}\) (pasando a dividir \(x^2-1\))
Ahora tenemos que ver donde el denominador se hace cero, es decir,
\(x^2-1=0\) (¿Donde se hace el denominador cero?)
\(x^2=0+1\) (pasando el \(1\) a sumar)
\(x^2=1\) (realizando operaciones)
\(\sqrt{x^2}=\sqrt{1}\) (sacando raices en ambos lados)
\(x=\pm1\) (es \(\pm\) por que sacamos raiz cuadrada)
Por tanto hay dos número en donde el denominador se hace cero, {1,-1}, luego el dominio de la función son todos los reales (\(\R\)) menos los números 1 y -1.
\(x\in\R-\{1,-1\}\)
\((-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)\)
Restricción de rango
1. Despejar la variable \(x\) de la ecuación original.
2. Determinar los valores del conjunto de número reales (\(\R\)) que puede tomar y para los cuales está definida la función.
Ejemplos: 1. Hallar el rango de la ecuación \(2x^2+y=6\). \(2x^2+y=6\) (Ecuación dada) \(2x^2=6-y\) (pasando la \(y\) a restar) \(x^2=\frac{6-y}{2}\) (pasando el \(2\) a dividir) \(\sqrt{x^2}=\sqrt{\frac{6-y}{2}}\) (sacando raices en ambos lados) \(x=\pm\sqrt{\frac{6-y}{2}}\) (es \(\pm\) ya que sacamos raiz) Como la variable \(y\) se encuentra en el numerador pero dentro de un radical (raíz cuadrada) debemos verificar que valores puede tomar \(y\) para que la función esté definida en \(\R\). Se debe cumplir que el valor dentro de la raíz cuadrada no sea negativo. Tomamos la operación que se encuentra dentro de la raíz cuadrada. Como sabemos que no puede tomar un valor negativo decimos que el resultado de esa operación debe ser mayor o igual a cero (De esta forma excluimos los números negativos). \(\frac{6-y}{2}\geq{0}\) (¿cuando la fraccción es negativa?) \(6-y\geq{0*2}\) (pasando a multiplicar el \(2\)) \(6-y\geq{0}\) (ralizando la operación) \(-y\geq{0}-6\) (pasando a restar el \(6\)) \(-y\geq{-6}\) (realizando operación) Como la variable está con signo negativo multiplicamos por (-1). Como no es una ecuación, es decir, no se utiliza el signo (=) sino que es una desigualdad por que utilizamos el signo \(\geq\) entonces el signo también se afecta por esta multiplicación y cambia de sentido \(\leq\). Tenemos: \((-y)(-1)\geq{(-6)(-1)}\) (multiplicando por \(-1\)) \(y\leq{6}\) (realizando operación. ¡Ojo, ha cambiado el signo de la desigualdad!) Ahora sabemos que los valores que puede tomar \(y\) para que la función esté definida en los reales son todos aquellos menores que o iguales a 6 y expresamos: \(\{y\in\R /y \leq{6}\}\) Y leemos: \(y\) pertenece a los números reales tal que y es menor que o igual a 6. En forma de intervalo, el rango seria: \((-\infty,6]\) 2. Hallar el rango de la función \(xy+y=3x+1\). Primero despejemos \(x\). \(xy+y=3x+1\) (Ecuación dada) \(xy-3x=1-y\) (pasando a restar \(3x\) y \(y\)) \(x(y-3)=1-y\) (factorizando \(x\)) \(x=\frac{1-y}{y-3}\) (pasando a dividir \(y-3\)) Ahora debemos preguntarnos, ¿donde el denominador se hace cero? \(y-3=0\) ¿donde el denominador se hace cero? \(y=0+3\) (pasando el \(3\) a sumar) \(y=3\) (realizando operaciones) Por tanto el rango son todos los reales menos el número 3. \(\R-\{3\}\) En forma de intervalo es: \((-\infty,3)\cup(3,\infty)\) 3. Hallar el rango de la función \(yx^2-y=1\). recordemos que debemos despejar \(x\). \(yx^2-y=1\) (ecuación dada) \(yx^2=1+y\) (pasando a sumar \(y\)) \(x^2=\frac{1+y}{y}\) (pasando a dividir \(y\)) \(\sqrt{x^2}=\sqrt{\frac{1+y}{y}}\) (sacando raiz en ambos lados) \(x=\pm\sqrt{\frac{1+y}{y}}\) (es \(\pm\) ya que sacamos raiz) Ahora tenemos und fraccionario dentro de una raiz entonces debemos ver para que números tiene sentido esta expresión. Primero miremos que el denominador sea diferente de cero, es decir, \(y\neq0\). (esta es la primera condición) Ahora miremos lo que está dentro del radical, (recordemos que lo que esta dentro del radical debe ser mayor que o igual a cero). \(\frac{1+y}{y}\geq0\) (condición a cumplir) \(1+y\geq0\) y \(y>0\) (por ley de signos ya que si el numerador es positivo entonces el denominador debe ser positivo) Como vemos, por solución de intervalos nos queda. \(x\in\R-[-1,0)\) En forma de intervalo quedaria. \((-\infty,-1]\cup(0,\infty)\)
1. Hallar el rango de la ecuación \(2x^2+y=6\).
\(2x^2+y=6\) (Ecuación dada) \(2x^2=6-y\) (pasando la \(y\) a restar) \(x^2=\frac{6-y}{2}\) (pasando el \(2\) a dividir) \(\sqrt{x^2}=\sqrt{\frac{6-y}{2}}\) (sacando raices en ambos lados) \(x=\pm\sqrt{\frac{6-y}{2}}\) (es \(\pm\) ya que sacamos raiz) Como la variable \(y\) se encuentra en el numerador pero dentro de un radical (raíz cuadrada) debemos verificar que valores puede tomar \(y\) para que la función esté definida en \(\R\). Se debe cumplir que el valor dentro de la raíz cuadrada no sea negativo. Tomamos la operación que se encuentra dentro de la raíz cuadrada. Como sabemos que no puede tomar un valor negativo decimos que el resultado de esa operación debe ser mayor o igual a cero (De esta forma excluimos los números negativos). \(\frac{6-y}{2}\geq{0}\) (¿cuando la fraccción es negativa?) \(6-y\geq{0*2}\) (pasando a multiplicar el \(2\)) \(6-y\geq{0}\) (ralizando la operación) \(-y\geq{0}-6\) (pasando a restar el \(6\)) \(-y\geq{-6}\) (realizando operación) Como la variable está con signo negativo multiplicamos por (-1). Como no es una ecuación, es decir, no se utiliza el signo (=) sino que es una desigualdad por que utilizamos el signo \(\geq\) entonces el signo también se afecta por esta multiplicación y cambia de sentido \(\leq\). Tenemos: \((-y)(-1)\geq{(-6)(-1)}\) (multiplicando por \(-1\)) \(y\leq{6}\) (realizando operación. ¡Ojo, ha cambiado el signo de la desigualdad!) Ahora sabemos que los valores que puede tomar \(y\) para que la función esté definida en los reales son todos aquellos menores que o iguales a 6 y expresamos: \(\{y\in\R /y \leq{6}\}\) Y leemos: \(y\) pertenece a los números reales tal que y es menor que o igual a 6. En forma de intervalo, el rango seria: \((-\infty,6]\)
\(2x^2+y=6\) (Ecuación dada)
\(2x^2=6-y\) (pasando la \(y\) a restar)
\(x^2=\frac{6-y}{2}\) (pasando el \(2\) a dividir)
\(\sqrt{x^2}=\sqrt{\frac{6-y}{2}}\) (sacando raices en ambos lados)
\(x=\pm\sqrt{\frac{6-y}{2}}\) (es \(\pm\) ya que sacamos raiz)
Como la variable \(y\) se encuentra en el numerador pero dentro de un radical (raíz cuadrada) debemos verificar que valores puede tomar \(y\) para que la función esté definida en \(\R\).
Se debe cumplir que el valor dentro de la raíz cuadrada no sea negativo.
Tomamos la operación que se encuentra dentro de la raíz cuadrada. Como sabemos que no puede tomar un valor negativo decimos que el resultado de esa operación debe ser mayor o igual a cero (De esta forma excluimos los números negativos).
\(\frac{6-y}{2}\geq{0}\) (¿cuando la fraccción es negativa?)
\(6-y\geq{0*2}\) (pasando a multiplicar el \(2\))
\(6-y\geq{0}\) (ralizando la operación)
\(-y\geq{0}-6\) (pasando a restar el \(6\))
\(-y\geq{-6}\) (realizando operación)
Como la variable está con signo negativo multiplicamos por (-1). Como no es una ecuación, es decir, no se utiliza el signo (=) sino que es una desigualdad por que utilizamos el signo \(\geq\) entonces el signo también se afecta por esta multiplicación y cambia de sentido \(\leq\). Tenemos:
\((-y)(-1)\geq{(-6)(-1)}\) (multiplicando por \(-1\))
\(y\leq{6}\) (realizando operación. ¡Ojo, ha cambiado el signo de la desigualdad!)
Ahora sabemos que los valores que puede tomar \(y\) para que la función esté definida en los reales son todos aquellos menores que o iguales a 6 y expresamos:
\(\{y\in\R /y \leq{6}\}\)
Y leemos: \(y\) pertenece a los números reales tal que y es menor que o igual a 6.
En forma de intervalo, el rango seria:
\((-\infty,6]\)
2. Hallar el rango de la función \(xy+y=3x+1\).
Primero despejemos \(x\). \(xy+y=3x+1\) (Ecuación dada) \(xy-3x=1-y\) (pasando a restar \(3x\) y \(y\)) \(x(y-3)=1-y\) (factorizando \(x\)) \(x=\frac{1-y}{y-3}\) (pasando a dividir \(y-3\)) Ahora debemos preguntarnos, ¿donde el denominador se hace cero? \(y-3=0\) ¿donde el denominador se hace cero? \(y=0+3\) (pasando el \(3\) a sumar) \(y=3\) (realizando operaciones) Por tanto el rango son todos los reales menos el número 3. \(\R-\{3\}\) En forma de intervalo es: \((-\infty,3)\cup(3,\infty)\)
Primero despejemos \(x\).
\(xy+y=3x+1\) (Ecuación dada)
\(xy-3x=1-y\) (pasando a restar \(3x\) y \(y\))
\(x(y-3)=1-y\) (factorizando \(x\))
\(x=\frac{1-y}{y-3}\) (pasando a dividir \(y-3\))
Ahora debemos preguntarnos, ¿donde el denominador se hace cero?
\(y-3=0\) ¿donde el denominador se hace cero?
\(y=0+3\) (pasando el \(3\) a sumar)
\(y=3\) (realizando operaciones)
Por tanto el rango son todos los reales menos el número 3.
\(\R-\{3\}\)
En forma de intervalo es:
\((-\infty,3)\cup(3,\infty)\)
3. Hallar el rango de la función \(yx^2-y=1\).
recordemos que debemos despejar \(x\). \(yx^2-y=1\) (ecuación dada) \(yx^2=1+y\) (pasando a sumar \(y\)) \(x^2=\frac{1+y}{y}\) (pasando a dividir \(y\)) \(\sqrt{x^2}=\sqrt{\frac{1+y}{y}}\) (sacando raiz en ambos lados) \(x=\pm\sqrt{\frac{1+y}{y}}\) (es \(\pm\) ya que sacamos raiz) Ahora tenemos und fraccionario dentro de una raiz entonces debemos ver para que números tiene sentido esta expresión. Primero miremos que el denominador sea diferente de cero, es decir, \(y\neq0\). (esta es la primera condición) Ahora miremos lo que está dentro del radical, (recordemos que lo que esta dentro del radical debe ser mayor que o igual a cero). \(\frac{1+y}{y}\geq0\) (condición a cumplir) \(1+y\geq0\) y \(y>0\) (por ley de signos ya que si el numerador es positivo entonces el denominador debe ser positivo) Como vemos, por solución de intervalos nos queda. \(x\in\R-[-1,0)\) En forma de intervalo quedaria. \((-\infty,-1]\cup(0,\infty)\)
recordemos que debemos despejar \(x\).
\(yx^2=1+y\) (pasando a sumar \(y\))
\(x^2=\frac{1+y}{y}\) (pasando a dividir \(y\))
\(\sqrt{x^2}=\sqrt{\frac{1+y}{y}}\) (sacando raiz en ambos lados)
\(x=\pm\sqrt{\frac{1+y}{y}}\) (es \(\pm\) ya que sacamos raiz)
Ahora tenemos und fraccionario dentro de una raiz entonces debemos ver para que números tiene sentido esta expresión.
Primero miremos que el denominador sea diferente de cero, es decir, \(y\neq0\). (esta es la primera condición)
Ahora miremos lo que está dentro del radical, (recordemos que lo que esta dentro del radical debe ser mayor que o igual a cero).
\(\frac{1+y}{y}\geq0\) (condición a cumplir)
\(1+y\geq0\) y \(y>0\) (por ley de signos ya que si el numerador es positivo entonces el denominador debe ser positivo)
Como vemos, por solución de intervalos nos queda.
\(x\in\R-[-1,0)\)
En forma de intervalo quedaria.
\((-\infty,-1]\cup(0,\infty)\)
Ejemplo práctico 1:
Determinar las restricciones del dominio y del rango del lugar geométrico de la ecuación \(yx=1\).
Solución:
Determinamos las restricciones del dominio:
1. Despejamos \(y\)
\(yx=1\) \(y=\frac{1}{x}\) 2. Determinamos los valores de x par que la función esté definida en R. Como \(x\) se encuentra en el denominador se debe cumplir que el valor del denominador no sea 0.
\(yx=1\)
\(y=\frac{1}{x}\)
2. Determinamos los valores de x par que la función esté definida en R.
Como \(x\) se encuentra en el denominador se debe cumplir que el valor del denominador no sea 0.
Luego: el dominio es \(R - {0}\) y se lee todos los reales menos 0.
Ahora, determinamos las restricciones del rango:
1. Despejamos \(x\)
\(yx=1\) \(x=\frac{1}{y}\) 2. Determinamos los valores de y para que la función esté definida en R. Como tenemos la situación anterior en donde la variable está en el denominador entonces sabemos que no puede tomar el valor de 0.
\(x=\frac{1}{y}\)
2. Determinamos los valores de y para que la función esté definida en R.
Como tenemos la situación anterior en donde la variable está en el denominador entonces sabemos que no puede tomar el valor de 0.
Luego: el rango es \(R - {0}\), ya que \(y\) puede tomar cualquier valor diferente de cero.
Ejemplo práctico 2:
Determinar las restricciones del dominio y del rango del lugar geométrico de la ecuación \(x^2+y^2=25\)
Determinamos las restricciones del dominio despejando \(y\) \(x^2+y^2=25\)\(y^2=25-x^2\)\(y=\sqrt{25-x^2}\) El valor dentro de la raíz cuadrada \((25-x^2)\) debe ser mayor o igual que cero, y esto determina los valores que puede tomar la \(x\). \(25-x^2\geq{0}\) \(-x^2\geq{0-25}\) \(-x^2\geq{-25}\) * (-1) \(x^2\leq{25}\) \(x\leq\sqrt{25}\) \(x\leq\pm{5}\) Luego: El dominio es \(-5\leq x\leq 5\), ya que la variable \(x\) puede tomar valores reales mayores o iguales que \(-5\) y menores o iguales que \(5\).
Determinamos las restricciones del dominio despejando \(y\)
\(x^2+y^2=25\)\(y^2=25-x^2\)\(y=\sqrt{25-x^2}\)
El valor dentro de la raíz cuadrada \((25-x^2)\) debe ser mayor o igual que cero, y esto determina los valores que puede tomar la \(x\).
\(25-x^2\geq{0}\)
\(-x^2\geq{0-25}\)
\(-x^2\geq{-25}\) * (-1)
\(x^2\leq{25}\)
\(x\leq\sqrt{25}\)
\(x\leq\pm{5}\)
Luego: El dominio es \(-5\leq x\leq 5\), ya que la variable \(x\) puede tomar valores reales mayores o iguales que \(-5\) y menores o iguales que \(5\).
Ahora determinamos las restricciones del rango: 1. Despejamos \(x\) \(x^2+y^2=25\)\(x^2=25-y^2\)\(x=\sqrt{25-y^2}\) El radicando \((25-y^2)\) debe ser mayor o igual que cero, y esto determina los valores que puede tomar la \(y\). \(25-y^2\geq 0\) \(-y^2\geq 0-25\) * (-1) \(y^2\leq 25\) \(y\leq\sqrt 25\) \(y\leq\pm 5\) Entonces \(-5\leq y\leq 5\)
Ahora determinamos las restricciones del rango:
\(x^2+y^2=25\)\(x^2=25-y^2\)\(x=\sqrt{25-y^2}\)
El radicando \((25-y^2)\) debe ser mayor o igual que cero, y esto determina los valores que puede tomar la \(y\).
\(25-y^2\geq 0\)
\(-y^2\geq 0-25\) * (-1)
\(y^2\leq 25\)
\(y\leq\sqrt 25\)
\(y\leq\pm 5\)
Entonces \(-5\leq y\leq 5\)
Luego: El rango es \(-5\leq y\leq 5\), ya que la variable \(y\) puede tomar valores reales mayores o iguales que \(-5\) y menores o iguales que \(5\).
El siguiente vídeo le ayuda a profundizar la lección:
PREGUNTA: La restricción del dominio del lugar geométrico de la ecuación \(y^2=x\) es: