ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
En general la posición inicial de un movimiento uniforme circular tiene que formar un ángulo nulo con el eje. Cuando esto ocurre aparece un ángulo llamado ángulo o constante de fase el cual está representado generalmente por \(\varphi_0\).
En este caso la proyección del objeto sobre el punto x no será A sino \(x=A.cos(\varphi_0)\)
En la siguiente tabla se muestran las ecuaciones generales del movimiento armónico simple:
Si en t=0,x=A
Si en t=0,x=A.cos(\(\varphi_0\))
Posición
\(x=A.cos(\omega.t)\)
\(x=A.cos(\omega.t+\varphi_0)\)
Velocidad
\(v=-\omega.A.sin(\omega.t)\)
\(v=-\omega.A.sin(\omega.t+\varphi_0)\)
Aceleración
\(a=-\omega^2.A.cos(\omega.t)\)
\(a=-\omega^2.A.cos(\omega.t+\varphi_0)\)
Donde
En las ecuaciones del movimiento armónico simple se cumple que
\(\omega=\frac{2.\pi}{T}\)
Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como esto:
\(f= \frac{w}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi}\sqrt{ \frac{k}{m} } \)
k es la constante positiva.
m es la masa del cuerpo en desplazamiento.
T es el período: \(T= \frac{1}{f} \)
Puesto que el máximo valor que toma la función seno es igual a 1, a partir de las ecuaciones podemos ver que el valor de la velocidad máxima del objeto es:
\(v_{max}=\omega.A\)
también el valor de la aceleración máxima es:
\(a_{max}=\omega^2.A\)
Ejemplo:
La ecuación para la posición en un movimiento armónico simple es \(x=5*cos(\pi*t-\pi/3)\), con x expresado en cm y t expresado en s.
Solución:
Puesto que \(x=A*cos(\omega*t+\varphi_0)\)
Tenemos que A=5 cm
\(\omega=\pi\), por tanto:\(2*\pi\)
\(T=\frac{2*\i}{\omega}=\frac{2*\pi}{\pi*s^{-1}}=2 s\)
La constante de fase \(\varphi_0\) es \(-\pi/3\) por tanto,
\(x_0=A*cos\varphi_0=5 cm*cos(-\pi/3)=5 cm\).
Podemos entonces concluir que la amplitud del movimiento es \(5 cm\), el período de oscilación es 2 s y que en el tiempo t=0, el objeto se encuentra a 5 cm de la posición de equilibrio en la parte positiva del eje \(x\), moviéndose hacia la posición de equilibrio, pues puedes verificar que en t=0, la velocidad es negativa.
PREGUNTA: ¿El valor máximo de la elongación (la amplitud) cambia si se desvía en un ángulo la posición inicial del objeto en el movimiento circular uniforme?