EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE INTEGRALES
EJEMPLO PRACTICO 1:
Hallar el área del trapecio determinado por la recta de ecuación \(y=x+1\), el eje OX, la recta \(x=0\) y \(x=1\). Calcular esta área geométricamente y comprobar que coincide con el valor de la integral definida \(\int_0^1 (x+1)dx\)
=0=0
Geométricamente tenemos un trapecio: Si observamos está formado por un cuadrado de base 1 y altura 1, y un rectángulo de base 1 y altura 1. El Área de un cuadrado se define por A=base*altura y la del triangulo A=(base*altura)/2. Por tanto tenemos que el área del trapecio es:
\(A=1*1+\frac{1*1}{2}\)
\(A=1+\frac{1}{2}\)
\(A=\frac{3}{2}\)
Ahora comprobaremos por medio de la aplicación de la integral:
\(\int_0^1(x+1)dx\)
\(\frac{x^2}{2}\mid_0^1+x\mid_0^1\)
\((\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2})+(1^2-0^2)\)
\((\frac{1}{2}-0)+(1-0)\)
\(\frac{1}{2}+(1)\)
EJEMPLO PRACTICO 2:
Determinar el área del recinto limitado por las curvas \(f(x)=x^3-3x+8\) y \(g(x)=-3x\) en el intervalo [-3,0].
Realizamos la gráfica de cada una de las funciones sobre el mismo plano:
Se puede observar que el área bajo la curva se debe determinar sumando las dos áreas que resultan en la gráfica en los intervalos [-3,-2] y [-2,0].
Al plantear debemos tener en cuenta cual función limita por arriba el área a determinar y cual la limita por debajo.
Entonces:
En el intervalo [-3,-2] la función que limita por encima al área es g(x)=-3x y por debajo la limita \(f(x)=x^3-3x+8\).
Sin embargo, en el intervalo [-2,0] la región está limitada superiormente por la función \(f(x)=x^3-3x+8\) e inferiormente por la función g(x)=-3x
Entonces planteamos:
\(\int_{-3}^{-2} g(x)-f(x)dx + \int_{-2}^0 f(x)-g(x)dx\)
\(\int_{-3}^{-2} (-3x)-(x^3-3x+8)dx + \int_{-2}^0(x^3-3x+8)-(-3x)dx\)
\(\int_{-3}^{-2} (-x^3-8)dx + \int_{-2}^0(x^3+8)dx\)
PREGUNTA: Cuál es el valor de la integral o área bajo la curva del ejercicio práctico 2 de ésta lección: