INTEGRAL DEFINIDA
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas debajo de curvas o rectas en un intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b].
Se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b y se denota como:
\(\int_a^b f(x)d(x) = f(b)-f(a)\)
La integral definida cumple las siguientes propiedades:
· Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
· Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
· La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
· La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
· Al cambiar (invertir) los límites de una integral, ésta cambia de signo.
· Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que:
· Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:
Ejemplo:
Hallar la integral de la función \(f(x)=3x^2+6x+4\) en el intervalo [3,5]
\(\int_a^b (3x^2+6x+4)dx\)
Aplicando la fórmula de integración se tiene:
\(\int_3^5 (3x^2)dx+ \int_3^5 (6x)dx+ \int_3^5 (4)dx \)
\(x^3\mid_3^5\ +\frac{6x^2}{2}\mid_3^5+ 4x \mid_3^5\)
Ahora remplazamos por los valores del intervalo:
\((5^3-3^3)+(\frac{1}{2}6(5)^2- \frac{1}{2}6(3)^2)+(4(5)-(4(3)\)
\((125-27)+(\frac{150}{2}-\frac{54}{2})+(20-12)\)
(98)+(48)+(8)=154
PREGUNTA: Cuál es el valor del área bajo la curva de la función \(f(x)=x^2+3x+1\) comprendida en el intervalo (-1,2)