DETERMINACIÓN DE INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
Una función y=f(x) es monótona para x=a si es creciente o decreciente en el punto a, así:
y=f(x) es creciente si al crecer x también crece y.
y=f(x) es decreciente si al crecer x también decrece y.
PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LOS INTERVALOS DE CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO
Para determinar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de una función debemos realizar los siguientes pasos:
1. Derivar la función.
2. Obtener los números críticos o raíces de ésta función resultante. Recuerda que hallar las raíces consiste en determinar el valor de la variable x. Para ello hacemos f´(x)=0.
3. Formamos intervalos abiertos con las raíces obtenidas.
4. Tomamos un valor perteneciente a cada intervalo y remplazamos en la función derivada.
5. Comparamos el signo del resultado y el criterio estará dado por:
Si f´(x)>0 la función es creciente.
Si f´(x)<0 la función es decreciente.
6. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
EJERCICIO PRÁCTICO:
Determinar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de la función:
f(x)=\(x^3-3x+1\)
1. Derivar la función:
f´(x)=\(3x^2-3\)
2. Obtener las raíces o ceros de la función haciendo f´(x)=0:
\(3x^2-3=0\)
Utilizando la fórmula para determinar los ceros de una función cuadrática, es decir de la forma \(ax^2+bx+c\):
x=\(\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(3x^2-3=0\) donde a=3 ; b=0 ; c=-3
x=\(\frac{-0\pm \sqrt{0^2-4*3*(-3)}}{2*3}\)
\(x_1=\frac{-0+\sqrt{0^2-4*3*(-3)}}{2*3}\)
\(x_1=\frac{6}{6}\)
\(x_1=1\)
\(x_2=\frac{-0-\sqrt{0^2-4*3*(-3)}}{2*3}\)
\(x_2=-\frac{6}{6}\)
\(x_2=-1\)
3. Tomamos intervalos abiertos con los ceros de la función derivada obtenidos en el paso anterior:
\((-\infty,-1)\) \((-1,1)\) \((1,\infty)\)
4a. Tomamos un valor que pertenezca a cada intervalo:
\((-\infty,-1)\) Tomamos el -2 (puedes ser o cualquier valor que pertenezca a este intervalo)
\((-1,1)\) Tomamos el 0 (puedes ser o cualquier valor que pertenezca a este intervalo)
\((1,\infty)\) Tomamos el 2 (puedes ser o cualquier valor que pertenezca a este intervalo).
4b. Remplazamos en la función derivada cada uno de los valores escogidos de cada intervalo:
x=-2
\(3(-2)^2-3=9\) como f´(-2)>0 decimos que en este intervalo la función es creciente.
x=0
\(3(0)^2-3=-3\) como f´(0)<0 decimos que en este intervalo la función es decreciente.
x=2
\(3(2)^2-3=9\) como f´(2)>0 decimos que en este intervalo la función es creciente.
5. Escribir los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
\((-\infty,-1)\) Crecimiento
\((-1,1)\) Decrecimiento
\((1,\infty)\) Crecimiento
PREGUNTA: La función y=cos(x) en el intervalo \((\pi, 2\pi)\) es: