ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA
En la lección 1 determinamos la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto P = (x,y). Ahora determinaremos la ecuación de dicha recta, definida como:
Y-y=m(X-x)
Ejemplo:
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la función \(f(x)=x^3\) en el punto (2,8).
Solución: Para la ecuación de la recta tangente, podemos hallar la pendiente \(m\) así:
\(m=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)
\(=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^3-x^3}{\Delta x}\)
\(=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{x^3+3x^2\Delta x+3x\Delta x^2+\Delta x^3-x^3}{\Delta x}\)
\(=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{3x^2\Delta x+3x\Delta x^2+\Delta x^3}{\Delta x}\)
\(=\lim_{\Delta x\to 0}(3x^2+3x\Delta x+\Delta x^2)\)
\(=\lim_{\Delta x\to 0}3x^2\)
Para x=2, la pendiente es \(3(2^2)=3(4)=12\)
Remplazamos en la ecuación de la recta con m=12 teniendo en cuenta el punto indicado (2,8) es decir x=2 y y=8
Y-8=m(X-2)
Y-8=12(X-2)
Y-8=12X-24
Despejando Y obtenemos: Y=12X-16
PREGUNTA: La ecuación de la recta tangente a la función \(f(x)=2x^2\) en el punto (1,2) es: