DEFINICIÓN DE LA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO
Se puede definir la recta tangente en un punto de la curva como el límite de las secantes cuando Q tiende a P .
\(Tan P= \lim_{Q \to P}Sec QP\)
CARACTERÍSTICAS DE LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO
Para que una recta sea tangente a una curva en un punto P:
1. Basta que pase por ese punto.
2. Sólo puede tener ese punto de contacto con ella.
3. Siempre hay un entorno del punto P en el que la tangente y la curva sólo tienen ese punto en común.
4. La tangente en P deja a la curva en uno de los semiplanos en que la recta divide al plano.
5. Siempre hay un entorno de P en que la recta tangente deja a la curva en uno de los dos semiplanos.
PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA
Podemos definir la pendiente de la recta tangente a una curva como:
\(m=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)
Ejemplo:
Hallar la pendiente m de la recta tangente a la curva \(y=x^2+1\) en el punto x=3
Solución:
Utilizamos la definición de de límite para calcular la pendiente:
\(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\) PARA \(y=x^2+1\)
\(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^2+1-(x^2+1)}{\Delta x}\)
\(=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{x^2+2x\Delta x+\Delta x^2+1-x^2-1}{\Delta x}\)
\(=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2x\Delta x+\Delta x^2}{\Delta x}\)
\(=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta x(2x+\Delta x)}{\Delta x}\)
\(\lim_{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)=2x\)
\(m=2x\) es la pendiente de la curva \(y=x^2+1\) para cualquier x.
Para el punto \(x=3\) la pendiente es \(m=2x=2*3=6\)
PREGUNTA: Cuál es la pendiente de la curva \(y=3x^2+3\) en el punto x=2?