SUCESIONES NUMÉRICAS
Una sucesión es una función definida para el conjunto de los enteros positivos.
Recorrido de una sucesión: Subconjunto ordenado de números reales, que se denota:
(a_n)=(a_1,a_2,a_3,...,a_n) para \(n \epsilon \mathbb{N}\)
Término de una sucesión: En la sucesión (a_n)=(a_1,a_2,a_3,...,a_n) cada \(a_n\), es un término y el subíndice n indica el lugar que el término ocupa en la sucesión. Entonces:
\(a_1\) es el primer término de la sucesión.
\(a_2\) es el segundo término de la sucesión.
\(a_3\) es el tercer término de la sucesión, etc.
Una sucesión es ordenada ya que hay un primer término a1 que es imagen de 1, un término a2 que es imagen del 2 y así sucesivamente.
Para todo entero positivo n, existe un término \(a_n\) llamado término general o término n-ésimo que determina los elementos de la sucesión: podemos decir que es la fórmula por medio de la cual se halla cada uno de los términos de la sucesión.
Ejemplo:
Escribir el término general \(a_n\)de la sucesión de los números impares.
Solución:
La sucesión (an) de los números impares es (an) = (1,3,5,7,9,11,13...)
Por tanto el término general de los números impares es \(a_n=(2n - 1)\).
Hallemos los tres primeros términos de \(a_n=(2n-1)\) para comprobarlo:
Para n=1
Para n=2
Para n=3
\(a_1=(2*1-1)\)
\(a_2=(2*2-1)\)
\(a_3=(2*3-1)\)
\(a_1=1\)
\(a_2=3\)
\(a_3=5\)
Veamos otro ejemplo:
Encontrar el término n-ésimo (\(a_n\))de la sucesión \(\{1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,\ldots ,S_n,\ldots\}\)
Si observamos los términos que ocupan lugares impares, tenemos:
\(a_1= 1\)
\(a_3= 1\)
\(a_5= 1\)
Luego \(a_n=1\) Si n es impar.
Si observamos los términos que ocupan lugares pares, tenemos:
\(a_2=1,\, a_4=2,\, a_6=3\, a_8=4\, a_{10}=5\, a_{12}=6\)
Luego \(a_n=\frac{n}{2}\) si \(n\) es par. Comprobamos:
\(a_2=\frac{2}{2}=1\)
\(a_4=\frac{4}{2}=2\)
\(a_6=\frac{6}{2}=3\)
\(a_8=\frac{8}{2}=4\) , etc.
Concluimos entonces que \(a_n=\displaystyle\left\{ {1\, si\, n\, es\, impar\atop\frac{n}{2}\, si\, n\, es\, par\)
Representación de sucesiones en el plano cartesiano
Representaremos en el plano cartesiano la sucesión \((b_n)=\frac{2}{n}\)
La gráfica cartesiana de la sucesión \((b_n)=\frac{2}{n}\) representa el conjunto de parejas ordenadas \((b_n)=((1,2),\, (2,1),\, (3,\frac{2}{3}),\, (4,\frac{1}{2}),\, (5,\frac{2}{3})\ldots)\)
La gráfica cartesiana de una sucesión no es una linea continua, sino que es un conjunto de puntos.
PREGUNTA: Encontrar los primeros cuatro términos de la sucesión \((d_n)=2n+5\)