11° MATEMÁTICAS

FUNCIONES

Una función es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.

Una relación es función si:

* Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.
* La imagen de cada elemento x \(\in\)A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen, pero cada imagen puede tener varios dominios.

En una función real hay dos tipos de variables:

• La letra x representa cualquier numero real y se llama variable independiente. Al conjunto de estas variable se le denomina el dominio de la función.
• Los valores que toma la letra y dependen de los valores que se dan a la letra x, por eso la variable y se llama variable dependiente. Al conjunto de los valores de esta variable se le denomina rango.

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Ejemplo:

Veamos el dominio y el recorrido de la función \(f(x)=\sqrt{x-4}\).

La función f(x) no esta definida sobre toda la recta real puesto que x-4 debe ser positivo. Por tanto \(x-4 \geq 0\), es decir \(x \geq 4\).

Luego: el dominio de f es \([4,+ \infty)\).

La función \(f(x)=\sqrt{x-4}\) nunca será negativa. Por lo tanto \(f(x) \geq 0\).

Luego: el recorrido de f es \([0,+ \infty)\).

OPERACIONES CON FUNCIONES

Adición de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Ejemplo 1: Sean las funciones f(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x - 4. Definir la función f + g.

Solución

- La función f + g se define como

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

3x + 1 + 2 x - 4

5 x - 3

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Ejemplo 2: Sean las funciones f(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x - 4. Definir la función f - g.

Solución

- La función f - g se define como

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

3x + 1 - (2 x - 4)

3x + 1 - 2x + 4

x + 5

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

(f.g)(x) = f(x).g(x)

Ejemplo 3: Sean las funciones f(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x - 4. Definir la función f . g.

Solución

- La función f . g se define como

(f .g)(x) = f(x) . g(x)

(3x + 1) . (2x - 4)

3x.2x +3x.(-4) + 1.2x +1.(-4)

\(6x^2-12x+2x-4\)

\(6x^2-10x-4\)

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula)

Ejemplo 4: Sean las funciones f(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x - 4. Definir la función f / g.

Solución

- La función f / g se define como

(f /g)(x) = f(x) / g(x)

(3x + 1) / (2x - 4)

\(\frac{3x+1}{2x-4}\)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

(a.f)(x) = a.f(x)

Ejemplo 5: Sea la función f(x) = 3 x + 1 y el número real a=7 Definir la función a.f .

Solución

- La función a . f se define como

(a.f)(x) = a.f(x)

7.(3x + 1)

7.3x +7.1

21x + 7

PREGUNTA: Sean las funciones (x)=2x+3 y g(x)=5x+8. Cuál es el resultado de la operación (f.g)(x)