DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO
Anteriormente se definió la distancia entre dos puntos de la recta real. Según el teorema de Pitágoras, en todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos; es decir
\(\Large\bf c^2=a^2 + b^2\)
Queremos hallar la distancia d entre los puntos \(\Large (x_1,y_1)\) y \(\Large(x_2,y_2)\) del plano:
Los puntos \((x_1,y_1) \,(x_2,y_1)\) y (x_2,y_2) determinan un triangulo rectángulo en el cual las longitudes de sus catetos están dadas por: \(d_1=x_2-x_1\), \(d_2=y_2-y_1\). Así aplicando el teorema de Pitágoras se tiene:
\(\Large d^2=d_1^2+d_2^2\)
\(\Large d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\)
De ahí que:
Si bien se consideraron para la gráfica dos parejas ordenadas del primer cuadrante, la formula se mantiene para puntos sobre cualquier cuadrante.
PUNTO MEDIO
La fórmula del punto medio M de un segmento recto en el plano, es análoga a la fórmula obtenida para el punto medio de un intervalo (a,b). De esta manera si \((x_1 , y_1)\) es un punto del plano y \((x_2 , y_2)\) es otro punto en el plano, el punto medio entre estos dos puntos esta dado por:
Verifiquemos que si \(d_1=d_2\) y \(d_1+d_2=d_3\), entonces M es punto medio.
Por una parte \(d_1=\sqrt{(\frac{x_1+x_2}{2}-x_1)^2+(\frac{y_1+y_2}{2}-y_1)^2}\)
También, \(d_1=\frac{1}{2}\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
Por otro lado, \(d_2=\sqrt{(x_2-\frac{x_1+x_2}{2})^2+(y_2-\frac{y_1+y_2}{2})^2}\)
También, \(d_2=\frac{1}{2}\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
\(d_1+d_2=\frac{1}{2}\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}+\frac{1}{2}\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
\(d_1+d_2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=d_3\)
PREGUNTA: El resultado de la distancia entre los puntos (2,4) y (8,10) es: